Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Bài 1: } \\
& \text{a) Đúng. Vì đa thức là tổng của các đơn thức, mà đơn thức là biểu thức đại số.} \\
& \text{b) Đúng. Theo định nghĩa đa thức một biến.} \\
& \text{c) Đúng. Đơn thức là đa thức chỉ có một hạng tử.} \\
& \text{d) Sai. Hệ số cao nhất là hệ số của số hạng có bậc cao nhất, không phải là số lớn nhất.} \\
& \\
& \text{Bài 2:} \\
& \text{a) } A = 2x^3 + 5x^2 - 3x + 1 \\
& \quad \text{Bậc: } 3; \quad \text{Hệ số cao nhất: } 2; \quad \text{Hệ số tự do: } 1 \\
& \text{b) } B = -x^2 - 3x + 4 \\
& \quad \text{Bậc: } 2; \quad \text{Hệ số cao nhất: } -1; \quad \text{Hệ số tự do: } 4 \\
& \text{c) } C = \dfrac{1}{4}x^5 + x^3 - \dfrac{6}{5}x - \dfrac{2}{3} \\
& \quad \text{Bậc: } 5; \quad \text{Hệ số cao nhất: } \dfrac{1}{4}; \quad \text{Hệ số tự do: } -\dfrac{2}{3} \\
& \text{d) } D = -0,5x^2 + 2,1x + 7,2 \\
& \quad \text{Bậc: } 2; \quad \text{Hệ số cao nhất: } -0,5; \quad \text{Hệ số tự do: } 7,2 \\
& \\
& \text{Bài 3: }\\
& \text{a) Xác định bậc của đa thức } P(x) \\
& \text{Số mũ cao nhất của biến } x \text{ là } 5 \Rightarrow \text{Bậc là } 5 \\
& \text{b) Xác định các hệ số và hệ số tự do} \\
& \text{Hệ số của } x^5: 1 \\
& \text{Hệ số của } x^4: -3 \\
& \text{Hệ số của } x^3: -1 \\
& \text{Hệ số của } x^2: 5 \\
& \text{Hệ số của } x^1: -2 \\
& \text{Hệ số tự do: } 0 \\
& \text{c) Tính giá trị của } P(x) \text{ tại } x = 2 \text{ và } x = -2 \\
& P(2) = 2^5 - 3 \cdot 2^4 - 2^3 + 5 \cdot 2^2 - 2 \cdot 2 \\
& P(2) = 32 - 3 \cdot 16 - 8 + 5 \cdot 4 - 4 \\
& P(2) = 32 - 48 - 8 + 20 - 4 \\
& P(2) = -8 \\
& P(-2) = (-2)^5 - 3 \cdot (-2)^4 - (-2)^3 + 5 \cdot (-2)^2 - 2 \cdot (-2) \\
& P(-2) = -32 - 3 \cdot 16 - (-8) + 5 \cdot 4 - (-4) \\
& P(-2) = -32 - 48 + 8 + 20 + 4 \\
& P(-2) = -48 \\
& \text{Kết quả: } P(2) = -8; \quad P(-2) = -48 \\
& \\
& \text{Bài 4: } \\
& \text{a) Thu gọn và sắp xếp đa thức } Q(x) \\
& Q(x) = \left( \dfrac{2}{3}x^3 - \dfrac{2}{3}x^3 \right) + \dfrac{5}{2}x^2 + \left( \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{3}x \right) + 1 \\
& Q(x) = 0 + \dfrac{5}{2}x^2 + \left( \dfrac{3}{6} - \dfrac{2}{6} \right)x + 1 \\
& Q(x) = \dfrac{5}{2}x^2 + \dfrac{1}{6}x + 1 \\
& \text{b) Xác định các yếu tố của } Q(x) \\
& \text{Bậc: } 2 \\
& \text{Hệ số cao nhất: } \dfrac{5}{2} \\
& \text{Hệ số tự do: } 1 \\
& \text{c) Tính các giá trị của } Q(x) \\
& \text{Tại } x = -6: \\
& Q(-6) = \dfrac{5}{2}(-6)^2 + \dfrac{1}{6}(-6) + 1 \\
& Q(-6) = \dfrac{5}{2} \cdot 36 - 1 + 1 \\
& Q(-6) = 90 \\
& \text{Tại } x = 1: \\
& Q(1) = \dfrac{5}{2}(1)^2 + \dfrac{1}{6}(1) + 1 \\
& Q(1) = \dfrac{15}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{6}{6} \\
& Q(1) = \dfrac{22}{6} = \dfrac{11}{3} \\
& \text{Tại } x = 2,5 \text{ (tức là } \dfrac{5}{2} \text{):} \\
& Q\left(\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{5}{2} \left(\dfrac{5}{2}\right)^2 + \dfrac{1}{6} \left(\dfrac{5}{2}\right) + 1 \\
& Q\left(\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{5}{2} \cdot \dfrac{25}{4} + \dfrac{5}{12} + 1 \\
& Q\left(\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{125}{8} + \dfrac{5}{12} + 1 \\
& Q\left(\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{375}{24} + \dfrac{10}{24} + \dfrac{24}{24} \\
& Q\left(\dfrac{5}{2}\right) = \dfrac{409}{24} \\
& \\
& \text{Bài 5: } \\
& \text{Giả sử ngày sinh: 15; Tháng sinh: 5; Năm sinh: 2010} \\
& \text{Yêu cầu: Bậc 7, 3 hạng tử, hệ số lớn nhất là ngày sinh, hệ số bậc nhỏ hơn là tháng sinh,} \\
& \text{hệ số tự do là năm sinh.} \\
& \text{Đa thức cần tìm là:} \\
& P(x) = 15x^7 + 5x + 2010
\end{aligned}$