Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Giả thiết : 

$\triangle ABC, \widehat{A} = 90^\circ$

$\widehat{ABE} = \widehat{HBE} (E \in AC)$

$EH \perp BC (H \in BC)$

$AD \perp BC (D \in BC)$

Kết luận 

a) $\triangle ABE = \triangle HBE$

b) $BE \perp AH$

c) $AH$ là tia phân giácn$\widehat{DAC}$

Bài làm

a) 

Xét $\triangle ABE$ và $\triangle HBE$ có:

$\widehat{BAE} = \widehat{BHE} = 90^\circ$

$BE$ chung

$\widehat{ABE} = \widehat{HBE}$ ($BE$ là tia phân giác $\widehat{B}$)

$\Rightarrow \triangle ABE = \triangle HBE$ (cạnh huyền - góc nhọn)

b) 

$\triangle ABE = \triangle HBE \Rightarrow BA = BH$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow \triangle ABH$ cân tại $B$

Tam giác cân $ABH$, $BE$ là đường phân giác xuất phát từ đỉnh nên đồng thời là đường cao

$\Rightarrow BE \perp AH$

c) 

Ta có $AD \perp BC$ và $\triangle ABC$ vuông tại $A$

nên $\widehat{DAC} = \widehat{B}$ (cùng phụ với $\widehat{C}$)

$\triangle ABH$ cân tại $B$:

$\widehat{BAH} = \dfrac{180^\circ - \widehat{B}}{2} = 90^\circ - \dfrac{\widehat{B}}{2}$

Xét $\triangle ABD$ vuông tại $D$:

$\widehat{BAD} = 90^\circ - \widehat{B}$

Ta có:

$\widehat{DAH} = \widehat{BAH} - \widehat{BAD}$

$= \left( 90^\circ - \dfrac{\widehat{B}}{2} \right) - (90^\circ - \widehat{B}) = \dfrac{\widehat{B}}{2}$

Vì $\widehat{DAH} = \dfrac{1}{2} \widehat{B}$ và $\widehat{DAC} = \widehat{B}$

$\Rightarrow \widehat{DAH} = \dfrac{1}{2} \widehat{DAC}$

Vậy $AH$ là tia phân giác của $\widehat{DAC}$