Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$I$ là trung điểm của $AB$

$\triangle SAB$ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

$\Rightarrow SI \perp (ABCD)$

$SI = \dfrac{AB\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

a) 

$\begin{cases} BC \perp AB \\ BC \perp SI \end{cases} \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp SB$.

Vậy $\triangle SBC$ vuông tại $B$

b) 

Vì $SI \perp (ABCD)$ nên $AI$ là hình chiếu của $SA$ lên mặt đáy

$\Rightarrow \widehat{(SA; (ABCD))} = \widehat{SAI} = 60^\circ$ (do $\triangle SAB$ đều)

c) 

Ta có $SI \perp (ABCD) \Rightarrow SI \perp BD$

Xét hình chữ nhật $ABCD$:

$\tan \widehat{ABD} \cdot \tan \widehat{CIB}$

$= \dfrac{AD}{AB} \cdot \dfrac{BC}{BI}$

$= \dfrac{a}{a\sqrt{2}} \cdot \dfrac{a}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}}$

$= \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{2} = 1$

$\Rightarrow \widehat{ABD} + \widehat{CIB} = 90^\circ \Rightarrow BD \perp IC$

$\Rightarrow \begin{cases} BD \perp SI \\ BD \perp IC \end{cases} \Rightarrow BD \perp (SIC) \Rightarrow BD \perp SC$

d) 

Gọi $K$ là trung điểm của $CD$

Ta có $IK \perp CD$ và $IK = AD = a$

$\begin{cases} CD \perp IK \\ CD \perp SI \end{cases} \Rightarrow CD \perp (SIK) \Rightarrow CD \perp SK$

$\Rightarrow \widehat{((SCD); (ABCD))} = \widehat{SKI}$

$\tan \widehat{SKI} = \dfrac{SI}{IK} = \dfrac{\dfrac{a\sqrt{6}}{2}}{a} = \dfrac{\sqrt{6}}{2}$