Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a) 

Điểm $I \in (d)$ nên tọa độ của $I$ có dạng $I\left( t; \dfrac{1 - 2t}{3} \right)$.

$IM = 5 \Leftrightarrow IM^2 = 25$

$(t - 2)^2 + \left( \dfrac{1 - 2t}{3} - 1 \right)^2 = 25$

$\Leftrightarrow (t - 2)^2 + \dfrac{(-2 - 2t)^2}{9} = 25$

$\Leftrightarrow 9(t^2 - 4t + 4) + 4(t^2 + 2t + 1) = 225$

$\Leftrightarrow 13t^2 - 28t - 185 = 0$

$\Delta' = (-14)^2 - 13 \cdot (-185) = 196 + 2405 = 2601 = 51^2$

$\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} t = \dfrac{14 + 51}{13} = 5 \\ t = \dfrac{14 - 51}{13} = -\dfrac{37}{13} \end{array} \right.$

Vậy $I(5; -3)$ hoặc $I\left( -\dfrac{37}{13}; \dfrac{29}{13} \right)$.

b) 

$\vec{n}_d = (2; 3)$

Gọi $\Delta$ là đường thẳng đi qua $M(2; 1)$ và vuông góc với $(d)$

$\Rightarrow \vec{n}_{\Delta} = (3; -2)$

$\Delta$: $3(x - 2) - 2(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x - 2y - 4 = 0$

Tọa độ hình chiếu $H$ : 

$\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ 3x - 2y = 4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \dfrac{14}{13} \\ y = -\dfrac{5}{13} \end{cases} \Rightarrow H\left( \dfrac{14}{13}; -\dfrac{5}{13} \right)$

c) 

Vì $N$ đối xứng với $M$ qua $(d)$ nên $H$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

$\begin{cases} x_N = 2x_H - x_M = 2 \cdot \dfrac{14}{13} - 2 = \dfrac{2}{13} \\ y_N = 2y_H - y_M = 2 \cdot \left( -\dfrac{5}{13} \right) - 1 = -\dfrac{23}{13} \end{cases}$

Vậy $N\left( \dfrac{2}{13}; -\dfrac{23}{13} \right)$