Đáp án:   a) Chứng minh MO ⟂ EF

Ta có:

• OE ⟂ ME (bán kính vuông góc tiếp tuyến)

• OF ⟂ MF

Xét hai tam giác vuông OME và OMF:

• OM chung

• OE = OF = R

• ME = MF (hai tiếp tuyến xuất phát từ một điểm)

⇒ ΔOME = ΔOMF (cạnh huyền – cạnh góc vuông)

Suy ra:

• OM là đường trung trực của EF
  ⇒ MO ⟂ EF

b) Chứng minh KQMH là tứ giác nội tiếp

Ta có:

• MO ⟂ EF ⇒ Q là chân đường vuông góc từ O xuống EF
  ⇒ ∠KQM = 90° (vì Q thuộc MO và EF ⟂ MO)

Tiếp theo:

K là trung điểm AB
Trong đường tròn, đường nối tâm đến trung điểm dây thì vuông góc dây:

⇒ OK ⟂ AB

Mà A, B, M thẳng hàng ⇒ AB trùng đường thẳng MA

⇒ OK ⟂ KM
⇒ ∠KHM = 90° (vì H nằm trên OK và M nằm trên AB)

Vậy:

∠KQM=∠KHM=90∘\angle KQM = \angle KHM = 90^\circ∠KQM=∠KHM=90∘

Suy ra bốn điểm K, Q, M, H cùng thuộc một đường tròn

⇒ KQMH là tứ giác nội tiếp

c) Chứng minh OK⋅OH=R2OK \cdot OH = R^2OK⋅OH=R2

Từ câu b), KQMH nội tiếp.

Xét đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.

Ta có:

OK⊥KMOK ⟂ KMOK⊥KM

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông:

OK⋅OH=OQ2OK \cdot OH = OQ^2OK⋅OH=OQ2

Nhưng:

Q là chân đường vuông góc từ O xuống EF
mà EF là dây tiếp xúc (cực – đối cực)

Ta có tính chất cực – đối cực:

OQ2=OE2=R2OQ^2 = OE^2 = R^2OQ2=OE2=R2

Suy ra:

OK⋅OH=R2OK \cdot OH = R^2OK⋅OH=R2 Kết luận

a) MO⊥EFMO ⟂ EFMO⊥EF

b) KQMHKQMHKQMH là tứ giác nội tiếp

c) OK⋅OH=R2OK \cdot OH = R^2OK⋅OH=R

 

Giải thích các bước giải: