Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a}\bigg)$ 

$\textbf{P} = \left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{\sqrt{x}}{x - \sqrt{x}}\right) : \dfrac{\sqrt{x} + 1}{3}(x > 0; x \ne 1)$

$\phantom{\textbf{P}} =  \left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x} - 1\right)}\right) \cdot \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$

$\phantom{\textbf{P}} =  \left(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} + \dfrac{1}{\sqrt{x} - 1}\right) \cdot \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$

$\phantom{\textbf{P}} =  \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} \cdot \dfrac{3}{\sqrt{x} + 1}$

$\phantom{\textbf{P}} =  \cdot \dfrac{3}{\sqrt{x} - 1}$

$\textbf{b}\bigg)$

Thay $\textbf{P} = 1$, ta có:

$\dfrac{3}{\sqrt{x} - 1} = 1$

$\sqrt{x} - 1 = 3$

$\sqrt{x} = 4$

$x = 16$

Vây với $x = 16$ thì $\textbf{P} = 1$

$\textbf{c}\bigg)$

Ta có: $x = 3 + 2\sqrt{2} = 2 + 1 + 2\sqrt{2} = \left(\sqrt{2} + 1\right)^2$

Suy ra $\sqrt{x} = \sqrt{\left(\sqrt{2} + 1\right)^2} = |\sqrt{2} + 1| = \sqrt{2} + 1$

Thay $\sqrt{x}=  \sqrt{2} + 1$ vào $\textbf{P}$, ta có:

$\textbf{P} = \dfrac{3}{\sqrt{2} + 1 - 1} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Vậy với $x = 3 + 2\sqrt{2}$ thì $\textbf{P} = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

$\textbf{d}\bigg)$

Để $\textbf{P} = \dfrac{3}{\sqrt{x} - 1}$ có giá trị nguyên thì $\sqrt{x} - 1 = \dfrac{3}{k}$ với $k$ nguyên

Suy ra $\sqrt{x} = \dfrac{3}{k} + 1$

Do $x > 0, x \ne 1$ nên $\sqrt{x} > 0$ và $\sqrt{x} \ne 1$, hay $k > 0$ hoặc $k < -3$

$x = \left(\dfrac{3}{k} +1\right)^2 = \dfrac{9}{k^2} + \dfrac{6}{k} + 1$

Vậy với $x = \dfrac{9}{k^2} + \dfrac{6}{k} + 1$ với $k$ nguyên thì $\textbf{P}$ nguyên