Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\textbf{a}\bigg)$

Để $\textbf{M} = \dfrac{7}{x^2 + 3}$ nguyên với $x$ nguyên thì $7 \; \vdots \; x^2 + 3$

Suy ra $x^2 + 3 \in \{-7; -1; 1;7 \}$

Mà $x^2 + 3 \ge 3$ với mọi $x$ nên $x^2 + 3 = 7$

$x^2 = 4$

$x = \pm 2$

Vậy với $x = \pm 2$ thì $\textbf{M}$ nguyên

$\textbf{b}\bigg)$

Do $x^2 + 3 \ge 3, \forall x $ nên $0 < \dfrac{7}{x^2 + 3} \le \dfrac{7}{3}, \forall x$

Do đó để $\textbf{M}$ nguyên thì $\dfrac{7}{x^2 + 3} \in \{1; 2\}$

Với $\dfrac{7}{x^2 + 3} = 1$ thì $x^2 + 3 = 7$, suy ra $x = \pm 2$

Với $\dfrac{7}{x^2 + 3} = 2$ thì $x^2 + 3 =\dfrac{7}{2}$

Suy ra $x^2 = \dfrac{1}{2}$

$x = \pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Vậy với $x \in \left\{\pm \dfrac{\sqrt{2}}{2}; \pm 2\right\}$ thì $\textbf{M}$ nguyên