Đáp án + Giải thích các bước giải:

$x^2 + 5x + 2 = 0$

Phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ với $a = 1, b = 5, c = 2$

$\Delta =b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 17 > 0$

Do đó phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $x_1, x_2$

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$\begin {cases} x_1 + x_2=  \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-5}{1} = -5 \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2}{1} = 2 \end {cases}$

Lúc này ta có:

$\textbf{M} = \sqrt{4x_1^2 + x_2^2 + 8} - x_1\left(1 + x_2^2\right)$

$\phantom{\textbf{M}} = \sqrt{4x_1^2 + 20x_1 + 8 + x_2^2 - 20x_1} - x_1\left(1 + x_2^2 + 5x_2 + 2 - 5x_2 - 2\right)$

$\phantom{\textbf{M}} = \sqrt{4\left(x_1^2 + 5x_1 + 2\right) + x_2^2 - 20x_1} - x_1\left(1 - 5x_2 - 2\right)$

$\phantom{\textbf{M}} = \sqrt{x_2^2 - 20x_1} + 5x_1x_2 + x_1$

$\phantom{\textbf{M}} = \sqrt{x_2^2 - 20(-5 - x_2)} + 10 + x_1$

$\phantom{\textbf{M}} = \sqrt{x_2^2 + 20x_2 + 100} + 10 +  x_1$

$\phantom{\textbf{M}} = \sqrt{(x_2 + 10)^2} + 10 + x_1$

$\phantom{\textbf{M}} = |x_2 + 10| + 10 + x_1$

Do $x_1 + x_2 < 0$ và $x_1x_2 < 0$ nên $x_1, x_2 < 0$

Mà $x_1 + x_2 = -5$ nên $x_1, x_2 > -5 > -10$

Do đó $|x_2 + 10| = x_2 + 10$

Suy ra $\textbf{M} = x_1 + x_2 + 20 = -5 + 20 = 15$

Vậy $\textbf{M} = 15$