Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Gọi } \alpha \text{ là góc giữa } SD \text{ và } (ABCD) \text{, khi đó } \tan \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \text{.} \\
& SO \perp (ABCD) \\
& \text{Hình chiếu vuông góc của } SD \text{ trên } (ABCD) \text{ là } OD \\
& \text{Góc giữa } SD \text{ và } (ABCD) \text{ là góc } \widehat{SDO} \\
& \alpha = \widehat{SDO} \\
& \text{Đáy } ABCD \text{ là hình vuông cạnh } a \text{ nên } BD = a\sqrt{2} \\
& O \text{ là tâm hình vuông nên } OD = \dfrac{BD}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \\
& \text{Tam giác } SOD \text{ vuông tại } O \\
& \tan \alpha = \dfrac{SO}{OD} \\
& \tan \alpha = \dfrac{\dfrac{a}{2}}{\dfrac{a\sqrt{2}}{2}} \\
& \tan \alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\
& \tan \alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \\
& \text{Kết quả câu a: Mệnh đề Đúng} \\
& \text{b) Góc giữa } (SAB) \text{ và } (ABCD) \text{ có số đo bằng } 45^\circ \text{.} \\
& (SAB) \cap (ABCD) = AB \\
& O \text{ là tâm hình vuông } ABCD \text{, } M \text{ là trung điểm } AB \\
& OM \perp AB \\
& \text{Theo định lí ba đường vuông góc, } SM \perp AB \\
& \text{Góc giữa } (SAB) \text{ và } (ABCD) \text{ là góc } \widehat{SMO} \\
& \text{Tam giác } OAB \text{ vuông cân tại } O \text{ có } M \text{ là trung điểm } AB \\
& OM = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{a}{2} \\
& \text{Tam giác } SOM \text{ vuông tại } O \text{ có } SO = OM = \dfrac{a}{2} \\
& \text{Tam giác } SOM \text{ vuông cân tại } O \\
& \widehat{SMO} = 45^\circ \\
& \text{Kết quả câu b: Mệnh đề Đúng} \\
& \text{c) Góc } [S, AB, O] \text{ có số đo bằng } 60^\circ \text{.} \\
& \text{Góc phẳng nhị diện } [S, AB, O] \text{ chính là góc giữa hai mặt phẳng } (SAB) \text{ và } (ABCD) \\
& \text{Góc } [S, AB, O] \text{ là góc } \widehat{SMO} \\
& \widehat{SMO} = 45^\circ \\
& 45^\circ \neq 60^\circ \\
& \text{Kết quả câu c: Mệnh đề Sai} \\
& \text{d) Thể tích của khối chóp } S.ABCD \text{ bằng } \dfrac{1}{3}a^3 \text{.} \\
& V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SO \\
& S_{ABCD} = a^2 \\
& V_{S.ABCD} = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a}{2} \\
& V_{S.ABCD} = \dfrac{a^3}{6} \\
& \dfrac{a^3}{6} \neq \dfrac{1}{3}a^3 \\
& \text{Kết quả câu d: Mệnh đề Sai}
\end{aligned}$