Đáp án:

Giải thích các bước giải:

$(1) \Leftrightarrow \log(x+1) - \log(3y+1) \le y^2(9y^2+6y) - y^2(x^2+2x)$

$\Leftrightarrow \log(x+1) - \log(3y+1) \le y^2((3y+1)^2 - 1) - y^2((x+1)^2 - 1)$

$\Leftrightarrow \log(x+1) + [y(x+1)]^2 \le \log(3y+1) + [y(3y+1)]^2$

$\Leftrightarrow \log(y(x+1)) - \log y + [y(x+1)]^2 \le \log(y(3y+1)) - \log y + [y(3y+1)]^2$

$\Leftrightarrow \log(y(x+1)) + [y(x+1)]^2 \le \log(y(3y+1)) + [y(3y+1)]^2$

Xét  $f(t) = \log t + t^2$ với $t > 0$.

$f'(t) = \dfrac{1}{t \ln 10} + 2t > 0, \forall t > 0$

$\Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $(0; +\infty)$

$\Rightarrow y(x+1) \le y(3y+1) \Leftrightarrow x+1 \le 3y+1 \Leftrightarrow x \le 3y$

Vì $x, y \in \mathbb{Z}^+$ và $y \le 1000$:

Với $y \in \{1; 2; \dots; 1000\}$, có $3y$ giá trị $x$ thỏa mãn

Số cặp $(x,y) =$ tổng cấp số nhân $1000$ số hạng

$S = \dfrac{1000 \cdot (3 + 3000)}{2} = 500 \cdot 3003 = 1.501.500$