Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Điều kiện: } x > -1 \\
& 3(9^y + 2y) \le x + \log_3(x+1)^3 - 2 \\
& 3 \cdot 3^{2y} + 6y \le x + 3\log_3(x+1) - 2 \\
& 3^{2y} + 2y \le \dfrac{x-2}{3} + \log_3(x+1) \\
& 3^{2y} + 2y \le \dfrac{x+1-3}{3} + \log_3(x+1) \\
& 3^{2y} + 2y \le \dfrac{x+1}{3} - 1 + \log_3(x+1) \\
& 3^{2y} + 2y \le \dfrac{x+1}{3} + \log_3(x+1) - \log_3 3 \\
& 3^{2y} + 2y \le 3^{\log_3 \dfrac{x+1}{3}} + \log_3 \dfrac{x+1}{3} \\
& \text{Xét hàm số } f(t) = 3^t + t \text{ trên } \mathbb{R} \\
& f'(t) = 3^t \ln 3 + 1 > 0 \text{ với mọi } t \in \mathbb{R} \\
& \text{Hàm số } f(t) \text{ đồng biến trên } \mathbb{R} \\
& f(2y) \le f\left( \log_3 \dfrac{x+1}{3} \right) \\
& 2y \le \log_3 \dfrac{x+1}{3} \\
& 2y \le \log_3(x+1) - 1 \\
& 2y + 1 \le \log_3(x+1) \\
& 3^{2y+1} \le x+1 \\
& x \ge 3^{2y+1} - 1 \\
& \text{Với } y \text{ là số nguyên dương, } y \ge 1 \\
& \text{Kết hợp điều kiện } x \le 2020 \\
& 3^{2y+1} - 1 \le 2020 \\
& 3^{2y+1} \le 2021 \\
& \text{Trường hợp } y = 1 \\
& x \ge 3^3 - 1 = 26 \\
& 26 \le x \le 2020 \\
& \text{Số giá trị nguyên của } x \text{ là } 2020 - 26 + 1 = 1995 \\
& \text{Trường hợp } y = 2 \\
& x \ge 3^5 - 1 = 242 \\
& 242 \le x \le 2020 \\
& \text{Số giá trị nguyên của } x \text{ là } 2020 - 242 + 1 = 1779 \\
& \text{Trường hợp } y = 3 \\
& x \ge 3^7 - 1 = 2186 \\
& 2186 > 2020 \text{ (loại)} \\
& 1995 + 1779 = 3774 \\
& \text{Kết quả: Có } 3774 \text{ cặp số nguyên dương thỏa mãn}
\end{aligned}$