Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Với } x, y \text{ là các số nguyên dương và } x > 1 \text{ nên } x \ge 2, y \ge 1 \\
& 2x^3 - 3x^2 + 1 = (x-1)^2(2x+1) > 0 \\
& 6xy + 1 + 2x + 3y = 2x(3y+1) + 1(3y+1) = (2x+1)(3y+1) > 0 \\
& \text{Biểu thức dưới dấu lôgarit luôn dương, phương trình được viết lại thành} \\
& \log_7 \dfrac{(x-1)^2(2x+1)}{(2x+1)(3y+1)} = 14x + 3y - 7x^2 - 7 \\
& \log_7 \dfrac{(x-1)^2}{3y+1} = -7(x^2 - 2x + 1) + 3y \\
& \log_7 (x-1)^2 - \log_7 (3y+1) = -7(x-1)^2 + 3y \\
& \log_7 (x-1)^2 + 7(x-1)^2 = \log_7 (3y+1) + 3y \\
& \log_7 (x-1)^2 + 1 + 7(x-1)^2 = \log_7 (3y+1) + 3y + 1 \\
& \log_7 (x-1)^2 + \log_7 7 + 7(x-1)^2 = \log_7 (3y+1) + (3y + 1) \\
& \log_7 (7(x-1)^2) + 7(x-1)^2 = \log_7 (3y+1) + (3y + 1) \\
& \text{Xét hàm số } f(t) = \log_7 t + t \text{ trên khoảng } (0; +\infty) \\
& f'(t) = \dfrac{1}{t \ln 7} + 1 > 0 \text{ với mọi } t > 0 \\
& \text{Hàm số } f(t) \text{ đồng biến trên khoảng } (0; +\infty) \\
& f(7(x-1)^2) = f(3y+1) \\
& 7(x-1)^2 = 3y+1 \\
& 3y = 7(x-1)^2 - 1 \\
& y = \dfrac{7(x-1)^2 - 1}{3} \\
& \text{Để } y \text{ là số nguyên thì } 7(x-1)^2 - 1 \text{ phải chia hết cho } 3 \\
& 7(x-1)^2 - 1 = 6(x-1)^2 + (x-1)^2 - 1 \\
& (x-1)^2 - 1 = (x-1-1)(x-1+1) = (x-2)x \\
& \text{Do } 6(x-1)^2 \text{ chia hết cho } 3 \text{ nên } (x-2)x \text{ phải chia hết cho } 3 \\
& \text{Trường hợp 1: } x \text{ chia hết cho } 3 \\
& \text{Gọi } k \text{ là số nguyên dương} \\
& x = 3k \\
& 1 < 3k < 2022 \\
& \dfrac{1}{3} < k < 674 \\
& \text{Có } 673 \text{ giá trị nguyên của } k \text{, tương ứng có } 673 \text{ giá trị của } x \\
& \text{Trường hợp 2: } x-2 \text{ chia hết cho } 3 \\
& \text{Gọi } m \text{ là số tự nhiên} \\
& x - 2 = 3m \\
& x = 3m + 2 \\
& 1 < 3m + 2 < 2022 \\
& -1 < 3m < 2020 \\
& -\dfrac{1}{3} < m < \dfrac{2020}{3} \\
& \text{Có } 674 \text{ giá trị nguyên của } m \text{ (từ } 0 \text{ đến } 673\text{), tương ứng có } 674 \text{ giá trị của } x \\
& \text{Tổng số giá trị của } x \text{ tìm được là } 673 + 674 = 1347 \\
& \text{Với mỗi giá trị } x \ge 2 \text{ thì } (x-1)^2 \ge 1 \\
& 3y = 7(x-1)^2 - 1 \ge 7 \cdot 1 - 1 = 6 \\
& y \ge 2 \\
& \text{Mỗi giá trị của } x \text{ cho ta một giá trị } y \text{ là số nguyên dương tương ứng} \\
& \text{Kết quả: Có } 1347 \text{ cặp số nguyên dương } (x; y) \text{ thỏa mãn}
\end{aligned}$