Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Điều kiện bài toán: } x, y \in \mathbb{Z}^+, 1 \leq x \leq 2020 \\
& 2^x + y = 2x + \log_2 (x + 2^{y-1}) \\
& 2^x + y - 1 = 2x - 1 + \log_2 (x + 2^{y-1}) \\
& 2^x + \log_2 (2^{y-1}) = 2x - 1 + \log_2 (x + 2^{y-1}) \\
& x + 2^{y-1} + \log_2 (x + 2^{y-1}) = 2^x + x - 1 + \log_2 (2^x) \\
& x + 2^{y-1} + \log_2 (x + 2^{y-1}) = 2^x + \log_2 (2^x) + x - 1 \\
& \text{Phương trình được viết lại dưới dạng: } \\
& (x + 2^{y-1}) + \log_2 (x + 2^{y-1}) = 2^x + \log_2 (2^x) \\
& \text{Xét hàm số đặc trưng } f(t) = t + \log_2 t \text{ với } t > 0 \\
& f'(t) = 1 + \dfrac{1}{t \ln 2} > 0, \forall t > 0 \\
& \text{Hàm số } f(t) \text{ luôn đồng biến trên } (0; +\infty) \text{ nên ta có:} \\
& x + 2^{y-1} = 2^x \\
& 2^{y-1} = 2^x - x \\
& y - 1 = \log_2 (2^x - x) \\
& y = \log_2 (2^x - x) + 1 \\
& \text{Để } y \text{ là số nguyên dương thì } 2^x - x \text{ phải có dạng } 2^k \text{ với } k \in \mathbb{N} \\
& \text{Xét } g(x) = 2^x - x \text{ với } 1 \leq x \leq 2020 \\
& \text{Với } x = 1 \implies 2^1 - 1 = 1 = 2^0 \implies y = 0 + 1 = 1 \text{ (thỏa mãn)} \\
& \text{Với } x = 2 \implies 2^2 - 2 = 2 = 2^1 \implies y = 1 + 1 = 2 \text{ (thỏa mãn)} \\
& \text{Với } x \geq 3 \text{, xét } h(x) = 2^x - x \text{. Ta thấy với mỗi giá trị } x \text{ nguyên, để } y \text{ nguyên thì } 2^x - x \text{ phải là lũy thừa của 2.} \\
& \text{Tuy nhiên, với } x > 2 \text{ thì } 2^x - x \text{ không bao giờ là một lũy thừa của 2 vì:} \\
& \text{Nếu } 2^x - x = 2^k \implies x = 2^x - 2^k = 2^k(2^{x-k} - 1) \\
& \text{Nếu } k=0 \implies x = 2^x - 1 \text{ (chỉ có nghiệm } x=1\text{)} \\
& \text{Nếu } k=1 \implies x = 2^x - 2 \text{ (chỉ có nghiệm } x=2\text{)} \\
& \text{Nếu } k \geq 2 \text{ thì } 2^x - 2^k \text{ luôn lớn hơn } x \text{ với mọi } x \geq 3 \\
& \text{Vậy chỉ có 2 cặp số } (x; y) \text{ thỏa mãn là } (1; 1) \text{ và } (2; 2)
\end{aligned}$