Đáp án:

2. $\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn $(I)$ đường kính $BC$).

$\Rightarrow BE\,\bot\,AC,CF\,\bot\,AB$

$\Rightarrow BE,CF$ là đường cao của $\Delta ABC$

$\Rightarrow H$ là trực tâm $\Delta ABC$ (do $BE$ cắt $CF$ tại $H$)

$\Rightarrow AD$ là đường cao của $\Delta ABC\Rightarrow AD\,\bot\,BC$.

$\widehat{BFH}=90^\circ$

$\Rightarrow F$ thuộc đường tròn đường kính $BH$.

$\widehat{BDH}=90^\circ$

$\Rightarrow D$ thuộc đường tròn đường kính $BH$

$\Rightarrow BFHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $BH$.

$\widehat{ADB}=90^\circ$

$\Rightarrow D$ thuộc đường tròn đường kính $AB$.

$\widehat{AEB}=90^\circ$

$\Rightarrow E$ thuộc đường tròn đường kính $AB$

$\Rightarrow ABDE$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$.

3. a) Có $\widehat{ABC}+\widehat{BCN}=90^\circ$ ($CN\,\bot\,AB$)

$\widehat{CHM}+\widehat{BCN}=90^\circ$ ($HM\,\bot\,AB$)

$\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{CHM}$.

b) Có $\widehat{AHC}+\widehat{CHM}=180^\circ$

Mà $\widehat{ABC}=\widehat{CHM}$

$\Rightarrow\widehat{AHC}+\widehat{ABC}=180^\circ$.

Mà $ABCD$ là tứ giác nội tiếp

$\Rightarrow\widehat{ABC}+\widehat{ADC}=180^\circ$

$\Rightarrow\widehat{AHC}=\widehat{ADC}$.

c) $\widehat{AMC}=90^\circ$

$\Rightarrow M$ thuộc đường tròn đường kính $AC$.

$\widehat{ANC}=90^\circ$

$\Rightarrow N$ thuộc đường tròn đường kính $AC$

$\Rightarrow ANMC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$

$\Rightarrow\widehat{MAC}=\widehat{MNC}$ (cùng chắn cung $MC$).

d) $\widehat{MAC}=\widehat{MNC}$

$\Rightarrow\widehat{MAC}+90^\circ=90^\circ+\widehat{MNC}$

$\Rightarrow \widehat{MAC}+90^\circ=\widehat{ANC}+\widehat{MNC}$

$\Rightarrow\widehat{MAC}+90^\circ=\widehat{ANM}$.