giải ra chi tiết k lấy gg ạ cứu e với

Giải thích các bước giải:

Câu 4:

$\begin{aligned}
&\text{Gọi } I(a; b; c) \text{ là giao điểm của đoạn thẳng } AB \text{ và mặt phẳng } (P)\text{.} \\
&\text{Vì } I \text{ nằm giữa đoạn thẳng } AB \text{ nên } A \text{ và } B \text{ nằm về hai phía của mặt phẳng } (P)\text{.} \\
&\text{Tỉ số khoảng cách từ } B \text{ và } A \text{ đến mặt phẳng } (P) \text{ bằng tỉ số độ dài đoạn thẳng } IB \text{ và } IA\text{:} \\
&\dfrac{IB}{IA} = \dfrac{d(B; (P))}{d(A; (P))} = 2 \\
&\vec{IB} = -2\vec{IA} \\
&\text{Tọa độ điểm } I \text{ được xác định theo hệ thức vectơ:} \\
&x_I = \dfrac{x_B + 2x_A}{1 + 2} = \dfrac{5 + 2 \cdot 1}{3} = \dfrac{7}{3} \\
&y_I = \dfrac{y_B + 2y_A}{1 + 2} = \dfrac{-4 + 2 \cdot 2}{3} = 0 \\
&z_I = \dfrac{z_B + 2z_A}{1 + 2} = \dfrac{-1 + 2 \cdot 3}{3} = \dfrac{5}{3} \\
&\text{Tọa độ điểm } I \text{ là } I\left(\dfrac{7}{3}; 0; \dfrac{5}{3}\right)\text{.} \\
&a = \dfrac{7}{3}\text{, } b = 0\text{, } c = \dfrac{5}{3} \\
&\text{Kiểm tra tính hợp lệ với mặt phẳng } (P) \text{ qua } Ox \text{ có dạng } By + Cz = 0\text{:} \\
&B \cdot 0 + C \cdot \dfrac{5}{3} = 0 \\
&C = 0 \\
&\text{Phương trình mặt phẳng } (P) \text{ là } y = 0\text{.} \\
&d(A; (P)) = |2| = 2 \\
&d(B; (P)) = |-4| = 4 \\
&d(B; (P)) = 2d(A; (P)) \text{ (Thỏa mãn điều kiện bài toán)} \\
&a + b + c = \dfrac{7}{3} + 0 + \dfrac{5}{3} \\
&a + b + c = \dfrac{12}{3} \\
&a + b + c = 4 \\
&\text{Kết quả cuối cùng câu 4: } a + b + c = 4\text{.}
\end{aligned}$

Câu 5:

$\begin{aligned}
&\text{Gọi } M \text{ là trung điểm của cạnh } BC\text{, tọa độ điểm } M \text{ là:} \\
&x_M = \dfrac{x_B + x_C}{2} = \dfrac{2 + 0}{2} = 1 \\
&y_M = \dfrac{y_B + y_C}{2} = \dfrac{0 + (-2)}{2} = -1 \\
&z_M = \dfrac{z_B + z_C}{2} = \dfrac{5 + 1}{2} = 3 \\
&\text{Tọa độ điểm } M \text{ là } M(1; -1; 3)\text{.} \\
&\text{Đường trung tuyến } AM \text{ nhận vectơ } \vec{AM} \text{ làm vectơ chỉ phương:} \\
&\vec{AM} = (x_M - x_A; y_M - y_A; z_M - z_A) \\
&\vec{AM} = (1 - (-1); -1 - 3; 3 - 2) \\
&\vec{AM} = (2; -4; 1) \\
&\text{Đồng nhất vectơ } \vec{u} \text{ với vectơ } \vec{AM}\text{, các hệ số là:} \\
&a = 2\text{, } b = -4\text{, } c = 1 \\
&a + \dfrac{1}{3}b - 3c = 2 + \dfrac{1}{3}(-4) - 3(1) \\
&a + \dfrac{1}{3}b - 3c = 2 - \dfrac{4}{3} - 3 \\
&a + \dfrac{1}{3}b - 3c = -1 - \dfrac{4}{3} \\
&a + \dfrac{1}{3}b - 3c = -\dfrac{7}{3} \\
\end{aligned}$

Câu 6:

$\begin{aligned}
&\text{Đường thẳng } d_1 \text{ đi qua điểm } M_1(1; 2; -1) \text{ và có vectơ chỉ phương } \vec{u_1} = (2; -2; -1)\text{.} \\
&\text{Đường thẳng } d_2 \text{ có vectơ chỉ phương } \vec{u_2} = (1; 0; -1)\text{.} \\
&\text{Mặt phẳng } (P) \text{ chứa đường thẳng } d_1 \text{ nên vectơ pháp tuyến } \vec{n} \text{ vuông góc với } \vec{u_1}\text{:} \\
&\vec{n} \cdot \vec{u_1} = 0 \\
&1 \cdot 2 + b \cdot (-2) + c \cdot (-1) = 0 \\
&2 - 2b - c = 0 \\
&c = 2 - 2b \\
&\text{Góc giữa mặt phẳng } (P) \text{ và đường thẳng } d_2 \text{ bằng } 45^\circ\text{:} \\
&\sin(45^\circ) = \dfrac{|\vec{n} \cdot \vec{u_2}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{u_2}|} \\
&\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{|1 \cdot 1 + b \cdot 0 + c \cdot (-1)|}{\sqrt{1^2 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2}} \\
&\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{|1 - c|}{\sqrt{1 + b^2 + c^2} \cdot \sqrt{2}} \\
&\dfrac{|1 - c|}{\sqrt{1 + b^2 + c^2}} = 1 \\
&|1 - c|^2 = 1 + b^2 + c^2 \\
&(1 - c)^2 = 1 + b^2 + c^2 \\
&1 - 2c + c^2 = 1 + b^2 + c^2 \\
&-2c = b^2 \\
&\text{Thay } c = 2 - 2b \text{ vào phương trình trên:} \\
&-2(2 - 2b) = b^2 \\
&-4 + 4b = b^2 \\
&b^2 - 4b + 4 = 0 \\
&(b - 2)^2 = 0 \\
&b = 2 \\
&c = 2 - 2(2) \\
&c = -2 \\
&\text{Tích cần tính là:} \\
&bc = 2 \cdot (-2) \\
&bc = -4 \\
\end{aligned}$