Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Chọn hệ trục tọa độ } Oxyz \text{ với gốc } O \text{ là trung điểm của } BC \\
& \text{Tia } Ox \text{ chứa } \vec{OC} \text{, tia } Oy \text{ chứa } \vec{OA} \text{, tia } Oz \text{ chứa } \vec{OA'} \\
& \text{Tam giác } ABC \text{ đều cạnh } 2\sqrt{2} \text{ nên } OC = \sqrt{2} \text{ và } OA = \dfrac{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \sqrt{6} \\
& \text{Tọa độ các điểm: } O(0; 0; 0), C(\sqrt{2}; 0; 0), B(-\sqrt{2}; 0; 0), A(0; \sqrt{6}; 0) \\
& \text{Gọi } h \text{ là chiều cao của lăng trụ, điểm } A' \text{ thuộc tia } Oz \text{ nên } A'(0; 0; h) \text{ với } h > 0 \\
& \vec{AA'} = (0; -\sqrt{6}; h) \\
& \text{Vì } ABC.A'B'C' \text{ là hình lăng trụ nên } \vec{CC'} = \vec{AA'} = (0; -\sqrt{6}; h) \\
& \text{Xét góc nhị diện } [C', BC, A] \text{ với cạnh là trục } Ox \\
& \text{Trong mặt phẳng } (ABC) \text{, tia vuông góc với } BC \text{ tại } O \text{ là tia } OA \text{ có vectơ chỉ phương } \vec{j} = (0; 1; 0) \\
& \text{Vì } \vec{CC'} \cdot \vec{BC} = 0 \cdot 2\sqrt{2} + (-\sqrt{6}) \cdot 0 + h \cdot 0 = 0 \text{ nên } CC' \perp BC \\
& \text{Trong mặt phẳng } (BCC'B') \text{, tia vuông góc với } BC \text{ tại } O \text{ cùng hướng với } \vec{CC'} \text{ có vectơ chỉ phương } \vec{v} = (0; -\sqrt{6}; h) \\
& \text{Góc nhị diện } [C', BC, A] = 135^\circ \text{ là góc giữa hai vectơ } \vec{j} \text{ và } \vec{v} \\
& \cos 135^\circ = \dfrac{\vec{j} \cdot \vec{v}}{|\vec{j}| \cdot |\vec{v}|} \\
& -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{0 \cdot 0 + 1 \cdot (-\sqrt{6}) + 0 \cdot h}{1 \cdot \sqrt{0^2 + (-\sqrt{6})^2 + h^2}} \\
& -\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{-\sqrt{6}}{\sqrt{6 + h^2}} \\
& \dfrac{1}{2} = \dfrac{6}{6 + h^2} \\
& 6 + h^2 = 12 \\
& h^2 = 6 \\
& h = \sqrt{6} \\
& \text{Suy ra } A'(0; 0; \sqrt{6}) \text{ và } \vec{CC'} = (0; -\sqrt{6}; \sqrt{6}) \\
& C' = C + \vec{CC'} = (\sqrt{2}; -\sqrt{6}; \sqrt{6}) \\
& \vec{A'B} = (-\sqrt{2}; 0; -\sqrt{6}) \\
& \vec{AC'} = (\sqrt{2}; -2\sqrt{6}; \sqrt{6}) \\
& \text{Gọi } \vec{u} = \left[ \vec{A'B}, \vec{AC'} \right] \text{ là vectơ chỉ phương của đường vuông góc chung} \\
& \vec{u} = \left( 0 \cdot \sqrt{6} - (-\sqrt{6})(-2\sqrt{6}); (-\sqrt{6})\sqrt{2} - (-\sqrt{2})\sqrt{6}; (-\sqrt{2})(-2\sqrt{6}) - 0 \cdot \sqrt{2} \right) \\
& \vec{u} = (-12; 0; 4\sqrt{3}) \\
& \text{Lấy } B(-\sqrt{2}; 0; 0) \text{ thuộc } A'B \text{ và } A(0; \sqrt{6}; 0) \text{ thuộc } AC' \\
& \vec{BA} = (\sqrt{2}; \sqrt{6}; 0) \\
& \text{Gọi } d \text{ là khoảng cách giữa hai đường thẳng } A'B \text{ và } AC' \\
& d = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{BA}|}{|\vec{u}|} \\
& d = \dfrac{|-12 \cdot \sqrt{2} + 0 \cdot \sqrt{6} + 4\sqrt{3} \cdot 0|}{\sqrt{(-12)^2 + 0^2 + (4\sqrt{3})^2}} \\
& d = \dfrac{12\sqrt{2}}{\sqrt{144 + 48}} \\
& d = \dfrac{12\sqrt{2}}{\sqrt{192}} \\
& d = \dfrac{12\sqrt{2}}{8\sqrt{3}} \\
& d = \dfrac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} \\
& d = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \\
& d \approx 1,22 \\
& \text{Kết quả: Khoảng cách giữa hai đường thẳng } A'B \text{ và } AC' \text{ bằng } 1,22
\end{aligned}$