Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Đk: $x + y \neq 0$

$\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \quad (1) \\ 3x^3 - y^3 = \dfrac{1}{x+y} \quad (2) \end{cases}$

$(2) \Leftrightarrow (3x^3 - y^3)(x + y) = 1$

$(1) \Rightarrow 1 = (x^2 + y^2)^2$ 

$(3x^3 - y^3)(x + y) = (x^2 + y^2)^2$

$\Leftrightarrow 3x^4 + 3x^3y - xy^3 - y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4$

$\Leftrightarrow 2x^4 + 3x^3y - 2x^2y^2 - xy^3 - 2y^4 = 0 \quad (3)$

Xét $y = 0 \Rightarrow (3) \Leftrightarrow 2x^4 = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (không thỏa mãn $(1)$)

Xét $y \neq 0$

Chia $(3)$ cho $y^4 \neq 0$, đặt `t = \frac{x}{y}`:

$2t^4 + 3t^3 - 2t^2 - t - 2 = 0$

$\Leftrightarrow (2t^4 - 2t^3) + (5t^3 - 5t^2) + (3t^2 - 3t) + (2t - 2) = 0$

$\Leftrightarrow (t - 1)(2t^3 + 5t^2 + 3t + 2) = 0$

$\Leftrightarrow (t - 1)[(2t^3 + 4t^2) + (t^2 + 2t) + (t + 2)] = 0$

$\Leftrightarrow (t - 1)(t + 2)(2t^2 + t + 1) = 0$

Vì `2t^2 + t + 1 = 2(t + \frac{1}{4})^2 + \frac{7}{8} > 0` với mọi $t$

$\Rightarrow t = 1$ hoặc $t = -2$

TH1: $t = 1 \Rightarrow x = y$

Thế vào $(1)$: `2x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}`

`\Rightarrow (x; y) \in \{ (\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}), (-\frac{\sqrt{2}}{2}; (-\frac{\sqrt{2}}{2}) \}`

Trường hợp 2: $t = -2 \Rightarrow x = -2y$

Thế vào $(1)$: `(-2y)^2 + y^2 = 1 \Leftrightarrow 5y^2 = 1 \Leftrightarrow y = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}`

`y = \frac{\sqrt{5}}{5} \Rightarrow x = -\frac{2\sqrt{5}}{5}`

`y = -\frac{\sqrt{5}}{5} \Rightarrow x = \frac{2\sqrt{5}}{5}`

Vậy nghiệm của hệ là `(\frac{\sqrt{2}}{2}; \frac{\sqrt{2}}{2}), (-\frac{\sqrt{2}}{2}; -\frac{\sqrt{2}}{2}), (-\frac{2\sqrt{5}}{5}; \frac{\sqrt{5}}{5}), (\frac{2\sqrt{5}}{5}; -\frac{\sqrt{5}}{5})`