Đáp án + Giải thích các bước giải:

Câu $\textbf{30}:$

Gọi $CH = x (\rm m)$

Xét $\triangle ABH$ vuông tại $H$, ta có:

$AB^2 = BH^2 + AH^2 ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} = \sqrt{200^2 - 50^2} = 50\sqrt{15}(\rm m)$

$\Rightarrow BC = 50\sqrt{15} - x (\rm m)$

Xét $\triangle ACH$ vuông tại $H$, ta có:

$AC^2 = CH^2 + AH^2 = x^2 + 2500 ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow AC = \sqrt{x^2 + 2500} (\rm m)$

$\Rightarrow \dfrac{50\sqrt{15} - x}{15}(\rm h)$ và $\dfrac{\sqrt{x^2 + 2500}}{5} (\rm h)$ lần lượt là thời gian hai bạn đã di chuyển tính đến thời điểm gặp nhau

Để không bạn nào phải chờ người kia thì $\dfrac{50\sqrt{15} - x}{15} = \dfrac{\sqrt{x^2 + 2500}}{5}$

$\Leftrightarrow 50\sqrt{15} - x = 3\sqrt{x^2 + 2500}$

$\Leftrightarrow \left(50\sqrt{15} - x\right)^2 = 9(x^2 + 2500)$

$\Leftrightarrow 37500 - 100\sqrt{15}x + x^2 = 9x^2 + 22500$

$\Leftrightarrow 8x^2 + 100\sqrt{15}x - 15000 = 0$

Phương trình trên có dạng $ax^2 +bx + c = 0$ với $a = 8, b = 100\sqrt{15}$ và $c =-15000$

$\Delta = b^2 - 4ac = \left(100\sqrt{15}\right)^2 + 480000 = 630000$

$\sqrt{\Delta} = 300\sqrt{7}$

Do $ac < 0$ nên phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $x_1, x_2$:

$x_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-100\sqrt{15} + 300\sqrt{7}}{16} = \dfrac{-25\sqrt{15} + 75\sqrt{7}}{4} \approx 25,4 (\rm tmđk)$

$x_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-100\sqrt{15} - 300\sqrt{7}}{16} < 0 (\rm ktmđk)$

Vậy $C$ phải cách vị trí $H$ trên lề đường một khoảng xấp xỉ $25,4\rm m$ để không ai phải chờ người kia