Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Ta có:} \\
& +) \ DM \perp AB \ (\text{do } M \text{ là hình chiếu của } D \text{ trên } AB) \\
& \Rightarrow \widehat{DMA} = 90^\circ \\
& +) \ DN \perp AC \ (\text{do } N \text{ là hình chiếu của } D \text{ trên } AC) \\
& \Rightarrow \widehat{DNA} = 90^\circ \\
& +) \ \Delta ABC \text{ vuông tại } A \\
& \Rightarrow \widehat{MAN} = 90^\circ \\
& *) \text{ Từ } 3 \text{ điều trên} \rightarrow \text{Tứ giác } AMDN \text{ là hình chữ nhật} \\
& *) \text{ Theo đề bài ta có } AD \text{ là phân giác } \widehat{MAN} \\
& \text{mà } AD \text{ là đường chéo của hình chữ nhật } AMDN \\
& \rightarrow \text{Tứ giác } AMDN \text{ là hình vuông} \\
& *) \text{ Vì tứ giác } AMDN \text{ là hình vuông} \\
& \Rightarrow MD \parallel AN \\
& \Rightarrow ME \parallel AN \\
& \Rightarrow \dfrac{BE}{BN} = \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{ME}{AN} \quad (1) \\
& *) \text{ Vì tứ giác } AMDN \text{ là hình vuông} \\
& \Rightarrow DN \parallel MA \\
& \Rightarrow DN \parallel AB \\
& \Rightarrow \dfrac{DN}{AB} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{CN}{AC} \quad (2) \\
& *) \text{ Vì tứ giác } AMDN \text{ là hình vuông} \\
& \Rightarrow DN \parallel MA \\
& \Rightarrow DF \parallel BM \\
& \Rightarrow \dfrac{DF}{BM} = \dfrac{CD}{CB} = \dfrac{CF}{CM} \quad (3) \\
& *) \text{ Từ (2) và (3)} \\
& \Rightarrow \dfrac{DN}{AB} = \dfrac{DF}{BM} \\
& \Rightarrow \dfrac{BM}{AB} = \dfrac{DF}{DN} \quad (4) \\
& *) \text{ Từ (1) và (4)} \\
& \Rightarrow \dfrac{DF}{DN} = \dfrac{BE}{BN} \\
& \Rightarrow EF \parallel BD \ (\text{hệ quả Ta-lét}) \\
& \Rightarrow EF \parallel BC \\
& \text{b)} \\
& *) \text{ Gọi giao của } AF \text{ và } BN \text{ là } I; \ AE \text{ và } CM \text{ là } O \\
& *) \text{ Vì tứ giác } AMDN \text{ là hình vuông} \\
& \Rightarrow DN \parallel MA \\
& \Rightarrow FN \parallel MA \\
& \Rightarrow \dfrac{FN}{MA} = \dfrac{CF}{CM} = \dfrac{CN}{CA} \\
& \text{mà } \dfrac{DN}{AB} = \dfrac{CN}{AC} \ (\text{từ (2)}) \\
& \Rightarrow \dfrac{FN}{MA} = \dfrac{DN}{AB} \\
& \Rightarrow \dfrac{FN}{DN} = \dfrac{MA}{AB} \\
& \text{mà } DN = AN = AM \ (\text{do tứ giác } AMDN \text{ là hình vuông}) \\
& \Rightarrow \dfrac{FN}{AN} = \dfrac{AN}{AB} \\
& *) \text{ Xét } \Delta ANB \text{ và } \Delta NFA \\
& +) \ \dfrac{FN}{AN} = \dfrac{AN}{AB} \ (\text{cmt}) \\
& +) \ \widehat{BAN} = \widehat{ANF} \ ( = 90^\circ) \\
& \Rightarrow \Delta ANB \sim \Delta NFA \ (\text{cgc}) \ (\text{đpcm}) \\
& \Rightarrow \widehat{ABN} = \widehat{NAF} \\
& \text{mà } \widehat{ABN} + \widehat{BNA} = 90^\circ \\
& \Rightarrow \widehat{NAF} + \widehat{BNA} = 90^\circ \\
& \Rightarrow \widehat{AIN} = 90^\circ \\
& \Rightarrow AF \perp BN \\
& \Rightarrow EI \perp AF \quad (5) \\
& *) \text{ Cmtt với } \Delta AME \sim \Delta CAM \text{ và } FO \perp AE \quad (6) \\
& *) \text{ Ta có: } BN \text{ giao } CM \text{ tại } H \\
& \Rightarrow EI \text{ giao } FO \text{ tại } H \\
& \text{mà ta có (5) và (6)} \\
& \Rightarrow H \text{ là trực tâm } \Delta AEF
\end{aligned}$