Đáp án + Giải thích các bước giải:

Bài $\textbf{3}.$

Phương trình hoành độ của $(P): y = -x^2$ và $(d):y = mx - 2$ là:

 $-x^2 = mx - 2$

$x^2 = -(mx - 2)$

$x^2 + mx - 2 = 0$

Phương trình trên có dạng $ax^2 + bx +c =0$ với $a = 1, b = m$ và $c = -2$

Do $ac = 1 \cdot (-2) = -2 < 0$ nên phương trình trên luôn có $2$ nghiệm phân biệt trái dấu

Suy ra $(P)$ luôn cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt có hoành độ trái dấu

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$\begin {cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{-m}{1} = -m \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-2}{1} = -2 \end {cases}$

Lúc này ta có:

$(x_1 + 2)(x_2 + 2) = 0$

$x_1x_2 + 2x_2 + 2x_1 + 4 = 0$

$x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) + 4 = 0$

$-2 - 2m + 4 = 0$

$2 - 2m =0$

$m = 1$

Vậy $m = 1$ thoả mãn đề bài

Bài $\textbf{4}.$

$\textbf{a}\bigg)$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P): y = x^2$ và $(d): y = 2(m - 1)x - 2m + 5$ là:

$x^2 = 2(m -1 )x - 2m + 5$

$x^2 - 2(m - 1)x + 2m - 5 = 0$

Phương trình trên có dạng $ax^2 + bx + c = 0$ với $a = 1, b = -2(m - 1)$ và $c = 2m - 5$

$\Delta = b^2 - 4ac = \left[-2(m -1)\right]^2 - 4(2m - 5)$

$\phantom{\Delta = b^2 - 4ac} = 4\left(m^2 - 2m + 1\right) - 4(2m - 5)$

$\phantom{\Delta = b^2 - 4ac} = 4m^2 - 8m + 4 - 8m + 20$

$\phantom{\Delta = b^2 - 4ac} = 4m^2 - 16m + 24$

$\phantom{\Delta = b^2 - 4ac} = (2m - 4)^2 + 8 > 0, \forall m$

Do đó phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt với mọi $m$

Suy ra $(P)$ luôn cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt với mọi $m$

$\textbf{b}\bigg)$

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$\begin {cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} =\dfrac{2(m - 1)}{1} = 2(m - 1) \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2m - 5}{1} = 2m - 5 \end {cases}$

Lúc này ta có:

$\left|\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}\right| = 2$

$\sqrt{\left(\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}\right)^2} = 2$

$\left(\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}\right)^2 = 4$

$x_1 - 2\sqrt{x_1x_2} + x_2 = 4$

$2m - 5 - 2\sqrt{2(m - 1)} = 4$

$2m - 2\sqrt{2(m - 1)} = 9$

$-2\sqrt{2(m - 1)}= 9 - 2m$

$4 \cdot 2(m - 1) = (9 - 2m)^2$

$8m - 4 = 4m^2 - 36m + 81$

$4m^2 - 44m + 85 = 0$

$(2m - 5)(2m - 17) = 0$

$m = \dfrac{5}{2}$ hoặc $m = \dfrac{17}{2}$

Với $m = \dfrac{5}{2}$ thì $x_1x_2 = 2\cdot \dfrac{5}{2} - 5 = 0$, trái với yêu cầu là $x_1, x_2$ dương

Với $m = \dfrac{17}{2}$ thì $x_1 + x_2 = 2\left(\dfrac{17}{2} - 1\right) = 15 > 0$ và $x_1x_2 = 2 \cdot \dfrac{17}{2} - 5 = 12 > 0$, suy ra $x_1, x_2$ dương

Vậy $m = \dfrac{17}{2}$ thoả mãn đề bài

Bài $\textbf{5}.$

$\textbf{a}.$

Thay $x = -2$ và $y = 3$ vào $(d): y = 2x + m$, ta có:

$3 = 2 \cdot (-2) + m$

$3 = m - 4$

$m = 7$

Vậy với $m = 7$ thì $(d): y = 2x + m$ đi qua $M(-2; 3)$

$\textbf{b}.$

Phương trình hoành độ giao điểm của $(P): y = 2x^2$ và $(d): y= 2x +m$ là:

$2x^2 = 2x + m$

$2x^2 - 2x - m = 0$

Phương trình trên có dạng $ax^2 +bx + c = 0$ với $a = 2, b = -2$ và $c = -m$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot  2(-m) = 8m + 4$

Để $(P)$ cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt thì phương trình trên có $2$ nghiệm phân biệt

Suy ra $\Delta = 8m + 4 > 0$, hay $m> -\dfrac{1}{2}$

Áp dụng hệ thức Viète, ta có:

$\begin {cases} x_1 + x_2 =\dfrac{-b}{a} = \dfrac{2}{2} = 1\\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{-m}{2} \end {cases}$

Lúc này ta có $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$ là hai giao điểm của $(P)$ với $(d)$ thoả mãn:

$(1 - x_1x_2)^2 + 2(y_1 + y_2) = 16$

Suy ra $y_1 = 2x_1^2$ và $y_2= 2x_2^2$

Phương trình trở thành:

$(1 - x_1x_2)^2 + 2\left(2x_1^2 + 2x_2^2\right) = 16$

$\left(1 + \dfrac{m}{2}\right)^2 + 4\left(x_1^2 + x_2^2\right) = 16$

$1 + m + \dfrac{m^2}{4} + 4\left[(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\right] = 16$

$m + \dfrac{m^2}{4} + 4(1 + m)= 15$

$m + \dfrac{m^2}{4} + 4 + 4m =15$

$5m + \dfrac{m^2}{4} - 11 = 0$

$m^2 + 20m - 44 = 0$

$(m - 2)(m + 22)= 0$

$m = 2$ hoặc $m = -22$

Kết hợp điều kiện $m > -\dfrac{1}{2}$ để $(P)$ cắt $(d)$ tại $2$ điểm phân biệt, ta được $m = 2$

Vậy $m = 2$ thoả mãn đề bài