Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{BDH}=\widehat{BEH}=90^o$

$\to B, E, H, D\in$ đường tròn đường kính $HB$

b.Vì $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to BCFE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to \widehat{CEN}=\widehat{CEF}=\widehat{CBF}=90^o-\hat C=\widehat{CAD}=\widehat{CAK}=\widehat{CIK}=\widehat{CIE}$

$\to \Delta CNE\sim\Delta CEI(g.g)$

$\to \dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CE}{CI}$

$\to CN.CI=CE^2$

c.Kẻ $EG\perp AC$

$\to \Delta CEA$ vuông tại $E, EG\perp AC$

$\to CG.CA=CE^2$

$\to CG.CA=CN.CI$

$\to \dfrac{CG}{CN}=\dfrac{CI}{CA}$

$\to \Delta CGN\sim\Delta CIA(c.g.c)$

$\to \widehat{CGN}=\widehat{CIA}$

$\to \widehat{NGF}=\widehat{ABC}=\widehat{AFE}=\widehat{GFN}$

$\to \Delta NGF$ cân tại $N$

$\to NG=NF$

Mà $\widehat{NGE}=90^o-\widehat{NGF}=90^o-\widehat{NFG}=\widehat{NEG}$

$\to \Delta NEG$ cân tại $N$

$\to NE=NG$

$\to NE=NF$

$\to N$ là trung điểm $EF$

Ta có:

$\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

Do $P$ là trung điểm $AH$ 

$\to P$ là tâm $(AEHF)$

$\to P$ là tâm $(AEF)$

Ta có:

$\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to BCFE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Mà $M$ là trung điểm $BC$

$\to M$ là tâm $(BCFE)$

Ta có:

$(P)\cap (MN)=EF$

$\to PM$ là trung trực $EF$

$\to PM\perp EF$ tại  trung điểm $EF$

$\to P, M, N$ thẳng hàng