Giải thích các bước giải:

a.Ta có:

$\widehat{BEC}=\widehat{BFC}=90^o$

$\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

b.Vì $AM$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ABM}=\widehat{ACM}=90^o$

$\to \widehat{ACM}=\widehat{ADB}$

Mà $\widehat{AMC}=\widehat{ABC}=\widehat{ABD}$

$\to \Delta AMC\sim\Delta ABD(g.g)$

$\to \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AC}{AD}$

$\to AD.AM=AB.AC$

Ta có: 

$\widehat{HFB}=\widehat{HDB}=90^o$

$\to HFBD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HB$

$\to \widehat{HFI}=\widehat{HFD}=\widehat{HBD}=\widehat{EBC}=\widehat{EFC}$

$\to FH$ là phân giác $\widehat{IFE}$

Mà $FH\perp FB$

$\to FB$ là phân giác ngoài tại $F $của $\Delta FIE$

$\to \dfrac{BI}{BE}=\dfrac{HI}{HE}$

$\to BI.HE=IH.BE$

c.Kẻ $MG\perp BC, G\in BC$

Ta có:

$\widehat{BNM}=\widehat{BGM}=90^o\to BNGM$ nội tiếp

$\widehat{CGM}=\widehat{CKM}=90^o\to CGKM$ nội tiếp

$\widehat{ANB}=\widehat{ADB}\to ANDB$ nội tiếp

$\widehat{ADC}=\widehat{AKC}=90^o\to ADKC$ nội tiếp 

Ta có:

$\widehat{NDK}=\widehat{DBA}=\widehat{AMC}=\widehat{KMC}=\widehat{DGK}$

$\to DNGK$ nội tiếp

$\to (DNK)$ là $(DNGK)$

Ta có:

$\widehat{KDC}=\widehat{KAC}=\widehat{MAC}=\widehat{MBC}\to DK//BM$

$\widehat{DGK}=\widehat{KMC}=\widehat{AMC}=\widehat{ABC}\to KG//AB$

Mà $AB\perp MB$

$\to KD\perp KG$

$\to DG$ là đường kính của $(DNGK)$

$\to DG$ là đường kính của $(DNK)$

$\to$Tâm $(DNK)$ là trung điểm $DG\in BC$