Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Ta có: }\\

& 2025x^2 + y = 2026y^2 + x \\
& 2025x^2 - 2025y^2 + y - y^2 - x = 0 \\
& 2025(x - y)(x + y) - (x - y) - y^2 = 0 \\
& (x - y)(2025x + 2025y - 1) = y^2 \\
& \text{Gọi } d = \text{UCLN}(x - y, 2025x + 2025y - 1) \\
& d \mid (x - y) \text{ và } d \mid (2025x + 2025y - 1) \\
& d \mid (x - y)(2025x + 2025y - 1) \Rightarrow d \mid y^2 \Rightarrow \text{mọi ước nguyên tố } p \text{ của } d \text{ đều thỏa mãn } p \mid y \\
& p \mid y \text{ và } p \mid (x - y) \Rightarrow p \mid x \\
& p \mid x \text{ và } p \mid y \Rightarrow p \mid (x + y) \Rightarrow p \mid 2025(x + y) \\
& p \mid (2025x + 2025y) \text{ và } p \mid (2025x + 2025y - 1) \Rightarrow p \mid 1 \\
& \text{Không tồn tại ước nguyên tố } p, \text{ do đó } d = 1 \\
& \text{Vì tích hai số nguyên tố cùng nhau là số chính phương } y^2 \ge 0, \text{ ta xét hai trường hợp:} \\
& \text{Trường hợp 1: } x - y > 0 \text{ và } 2025(x + y) - 1 > 0 \\
& \text{Tồn tại số nguyên dương } a, b \text{ sao cho } x - y = a^2 \text{ và } 2025(x + y) - 1 = b^2 \\
& b^2 + 1 = 2025(x + y) \\
& 2025 \ \vdots \ 3 \Rightarrow (b^2 + 1) \ \vdots \ 3 \\
& \text{Tuy nhiên } b^2 \equiv 0 \text{ hoặc } b^2 \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow b^2 + 1 \equiv 1 \text{ hoặc } b^2 + 1 \equiv 2 \pmod 3 \\
& \text{Do đó phương trình vô nghiệm ở trường hợp 1} \\
& \text{Trường hợp 2: } x - y \le 0 \text{ và } 2025(x + y) - 1 \le 0 \\
& \text{Tồn tại số tự nhiên } a, b \text{ sao cho } y - x = a^2 \text{ và } 1 - 2025(x + y) = b^2 \\
& y^2 = a^2b^2 \Rightarrow y = ab \text{ hoặc } y = -ab \\
& x + y = \dfrac{1 - b^2}{2025} \\
& y - x = a^2 \\
& 2y = (x + y) - (x - y) = \dfrac{1 - b^2}{2025} + a^2 \\
& \text{Nếu } y = ab \Rightarrow 2ab = a^2 + \dfrac{1 - b^2}{2025} \Rightarrow a^2 - 2ab + \dfrac{1 - b^2}{2025} = 0 \\
& \Delta'_a = b^2 - \dfrac{1 - b^2}{2025} = \dfrac{2026b^2 - 1}{2025} \\
& \text{Để } a \in \mathbb{Z}, \text{ tồn tại } k \in \mathbb{N} \text{ sao cho } \Delta'_a = k^2 \\
& 2026b^2 - 1 = 2025k^2 = (45k)^2 \\
& \text{Đặt } c = 45k \Rightarrow c^2 - 2026b^2 = -1 \\
& \text{Nghiệm cơ bản } (c_1, b_1) \text{ của phương trình Pell âm là } c_1 = 45, b_1 = 1 \text{ ứng với } k = 1 \\
& a = b \pm k = 1 \pm 1 \Rightarrow a = 2 \text{ hoặc } a = 0 \\
& a = 0, b = 1 \Rightarrow y = 0, x = 0 \\
& a = 2, b = 1 \Rightarrow y = 2, x = -2 \\
& \text{Nếu } y = -ab \Rightarrow a^2 + 2ab + \dfrac{1 - b^2}{2025} = 0 \\
& \Delta'_a = \dfrac{2026b^2 - 1}{2025} = k^2 \\
& a = -b \pm k = -1 \pm 1 \Rightarrow a = -2 \text{ hoặc } a = 0 \\
& a = 0, b = 1 \Rightarrow y = 0, x = 0 \\
& a = -2, b = 1 \Rightarrow y = 2, x = -2 \\
& \text{Tổng quát, họ nghiệm được sinh bởi dãy } (c_n, b_n) \text{ thỏa mãn } c_n + b_n\sqrt{2026} = (45 + \sqrt{2026})^{2n-1} \\
& a = \pm b_n \pm \dfrac{c_n}{45}, \ y = \pm a b_n, \ x = y - a^2 \\
& \text{Kết quả: } (x, y) \in \{(0; 0), (-2; 2)\} \text{ và họ nghiệm vô hạn sinh bởi } c^2 - 2026b^2 = -1
\end{aligned}$