Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB,AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AB\perp OB, AC\perp OC$

$\to \widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

$\to$Tâm đường tròn là trung điểm $AO$

      Bán kính là $\dfrac12AO=R$

b.Vì $BD$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{BCD}=90^o$

$\to BC\perp CD$

Ta có: $AB, AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to AO\perp BC$

$\to AO//CD$

Gọi $CD\cap AB=E$

Ta có: $AO//CD$

$\to AO//DE$

Mà $O$ là trung điểm $BD$

$\to OA$ là đường trung bình $\Delta BDE$

$\to A$ là trung điểm $BE$

$\to AB=AE$

Ta có: $CK//BE(\perp BD)$

$\to \dfrac{IK}{AB}=\dfrac{DI}{DA}=\dfrac{CI}{AE}$

$\to IK=IC$

$\to I$ là trung điểm $CK$

c.Ta có: $CK//AB$

$\to \dfrac{IC}{AM}=\dfrac{SI}{SM}=\dfrac{IK}{MB}$

$\to MA=MB$ vì $IC=IK$

$\to M$ là trung điểm $AB$

Ta có:

$AB=\sqrt{AO^2-OB^2}=R\sqrt3$

$\to S_{AOB}=S_{AOC}=\dfrac12BA\cdot BO=\dfrac12\cdot R\sqrt3\cdot R=\dfrac{R^2\sqrt3}2$

$\to S_{AMOC}=S_{ABOC}-S_{BMO}=2\cdot S_{AOB}-\dfrac12S_{ABO}=\dfrac32S_{AOB}=\dfrac32\cdot \dfrac{R^2\sqrt3}2=\dfrac{3\sqrt{3}R^2}{4}$