Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Câu 1: } \\
& \text{Đồng nhất hệ số đa thức thương với } c \text{ là hằng số:} \\
& x^3 + 2x^2 + ax + b = (x^2 + x + 1)(x + c) \\
& x^3 + 2x^2 + ax + b = x^3 + cx^2 + x^2 + cx + x + c \\
& x^3 + 2x^2 + ax + b = x^3 + (c + 1)x^2 + (c + 1)x + c \\
& \begin{cases} c + 1 = 2 \\ c + 1 = a \\ c = b \end{cases} \\
& \begin{cases} c = 1 \\ a = 2 \\ b = 1 \end{cases} \\[15pt]

& \text{Câu 2: Ta có:} \\
& x^2 + 2xy + y^2 + y^2 + y = 2 \\
& (x+y)^2 + y^2 + y = 2 \\
& 4(x+y)^2 + 4y^2 + 4y = 8 \\
& 4(x+y)^2 + (2y+1)^2 - 1 = 8 \\
& 4(x+y)^2 + (2y+1)^2 = 9 \\
& (2y+1)^2 \le 9 \\
& 2y+1 \text{ là số lẻ} \\
& (2y+1)^2 \in \{1; 9\} \\
& 4(x+y)^2 + 1 = 9 \Rightarrow 4(x+y)^2 = 8 \Rightarrow (x+y)^2 = 2 \notin \mathbb{Z}^2 \\
& 4(x+y)^2 + 9 = 9 \Rightarrow 4(x+y)^2 = 0 \Rightarrow x + y = 0 \Rightarrow x = -y \\
& (2y+1)^2 = 9 \\
& \left[ \begin{array}{l} 2y+1 = 3 \\ 2y+1 = -3 \end{array} \right. \\
& \left[ \begin{array}{l} y = 1 \\ y = -2 \end{array} \right. \\
& y = 1 \Rightarrow x = -1 \\
& y = -2 \Rightarrow x = 2 \\[15pt]

& \text{Câu 3: } \\
& \text{Gọi } d = \text{UCLN}(n+3, 4n^2+14n+7) \text{ với } d \in \mathbb{N}^* \\
& 4n^2 + 14n + 7 = (4n+2)(n+3) + 1 \\
& d = \text{UCLN}(n+3, 1) = 1 \\
& n+3 = u^2 \ (u \in \mathbb{N}^*) \\
& 4n^2 + 14n + 7 = v^2 \ (v \in \mathbb{N}^*) \\
& (2n+3)^2 = 4n^2 + 12n + 9 \\
& (2n+4)^2 = 4n^2 + 16n + 16 \\
& 4n^2 + 14n + 7 - (2n+3)^2 = 2n - 2 \\
& (2n+4)^2 - (4n^2 + 14n + 7) = 2n + 9 \\
& n > 1 \Rightarrow 2n - 2 > 0 \Rightarrow (2n+3)^2 < 4n^2 + 14n + 7 < (2n+4)^2 \\
& 4n^2 + 14n + 7 \text{ không thể là số chính phương khi } n > 1 \\
& n = 1 \Rightarrow 2n - 2 = 0 \Rightarrow 4n^2 + 14n + 7 = 5^2 \\
& n = 1 \Rightarrow n + 3 = 2^2 \\
& A = 2^2 \cdot 5^2 = 100 = 10^2 \\[15pt]

\end{aligned}$