Đáp án + Giải thích các bước giải:

Câu $\textbf{7}:$

Ta có: Hình chiếu vuông góc của $S$ lên $(ABC)$ trùng với trung điểm $H$ của $BC$

$\Rightarrow SH \bot (ABC)$

$\Rightarrow AH$ là hình chiếu của $SA$ lên $(ABC)$

$\Rightarrow (SA, (ABC)) = \widehat{SAH}$

Do $H$ là trung điểm của $BC$ trong $\triangle SBC$ đều và $\triangle ABC$ đều

$\Rightarrow \widehat{SHC} = \widehat{AHC} = 90^\circ$

Ta có: $\triangle SBC$ đều và $\triangle ABC$ đều

$\Rightarrow SB = SC = BC = AC$

Xét $\triangle SHC$ và $\triangle AHC$, ta có:

$\begin {cases} SC = AC (\rm cmt) \\ HC\text{ chung} \\ \widehat{SHC} = \widehat{AHC} = 90^\circ (

\rm cmt) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle SHC = \triangle AHC$

$\Rightarrow SH = AH$

$\Rightarrow \triangle SAH$ vuông cân tại H$

$\Rightarrow \widehat{SAH} = 45^\circ$

$\Rightarrow (SA, (ABC)) = 45^\circ$

Câu $\textbf{8}:$

Do $SA, SB, SC$ đôi một vuông góc với nhau nên các tam giác $SAB, SBC$ và $SAC$ đều là tam giác vuông

Mà $SA = SB = SC = a$

$\Rightarrow \sqrt{SA^2 + SB^2} = \sqrt[SB^2 + SC^2} = \sqrt{SA^2 + SC^2} = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow AB = BC = AC = a\sqrt{2}$

$\Rightarrow \triangle ABC$ đều

Gọi $M$ là trung điểm $AB$ và $H$ là hình chiếu của $S$ lên $CM$

$\Rightarrow SM \bot AB$

Ta có: $SC \bot SA$ và $SC \bot SB$

$\Rightarrow SC \bot (SAB)$

$\Rightarrow SC \bot AB$

Mà $SM \bot AB$

$\Rightarrow AB \bot (SCM)$

$\Rightarrow AB \bot SH$

Mà $SH \bot CM, AB$ cắt $CM$ tại $M \in (ABC)$

$\Rightarrow SH \bot (ABC)$

$\Rightarrow CH$ là hình chiếu của $SC$ lên $(ABC)$

$\Rightarrow (SC, (ABC)) = \widehat{SCH} = \widehat{SCM}$

Ta có: $\triangle SAB$ vuông cân tại $S$ có đường trung tuyến $SM$

$\Rightarrow SM$ đồng thời là đường cao của $\triangle SAB$

$\Rightarrow SM = AM$

Mà $AM = \dfrac{AB}{2} =\dfrac{1}{2}\sqrt{SA^2 + SB^2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow SM = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

Do $SC \bot (SAB)$ tại $S$ nên $\triangle SCM$ vuông tại $S$

$\Rightarrow CM = \sqrt{SC^2 + SM^2} = \sqrt{a^2 + \left(\dfrac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

$\Rightarrow \sin \widehat{SCM} = \dfrac{SM}{CM} = \dfrac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{\frac{a\sqrt{6}}{2}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\Rightarrow \sin (SC, (ABC)) = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$