Đáp án + Giải thích các bước giải:

Bài `4.`

`a)` Ta có: $\triangle$`ABC` vuông tại `A`, đường cao `AH (g``t)`

`⇒` $\widehat{BAC}$ `=` $\widehat{AHB}$ `= 90^o`

Xét $\triangle$`ABC` và $\triangle$`HBA`, ta có:

$\widehat{BAC}$ = $\widehat{AHB}$ `(cmt);`

$\widehat{B}$ chung

`⇒` $\triangle$`ABC` $\backsim$ $\triangle$`HBA` `(g.g)`

`⇒ (AB)/(HB) = (BC)/(AB) ⇒ AB^2 = BH * BC`

`b)` Ta có: $\triangle$`ABC` vuông tại `A`, đường cao `AH (g``t)`

`⇒ AH ⊥ BC =>` $\triangle$`AHB` vuông tại `H`

Áp dụng định lí Pythagore, ta có:

`AH^2 + BH^2 = AB^2`

`⇒ BH^2 = AB^2 - AH^2 = 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 (cm)`

`⇒ BH = 3 (cm)`

Lại có: $\triangle$`AHB` có đường phân giác `BE (g``t)`

`=> (AE)/(EH) = (AB)/(BH) = 5/3`

`=> 3*AE = 5*EH`

Mà `AE+EH = AH = 4 (cm)`

`=> 5AE+5EH = 5AE+3AE = 8AE = 5AH = 4*5 = 20 (cm)`

`=> AE = 20/8 = 2,5 (cm)`

`c)` Ta có: `AD` là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ `(g``t)`

`=>` $\widehat{ABD}$ `=` $\widehat{CBD}$

Mà $\triangle$`EBH` vuông tại `H`

`=>` $\widehat{EBH}$ `+` $\widehat{BEH}$ `= 90^o` hay $\widehat{CBD}$ `+` $\widehat{BEH}$ `= 90^o`

Lại có: $\triangle$`ABD` vuông tại `A`

`=>` $\widehat{ABD}$ `+` $\widehat{ADB}$ `= 90^o`

`=>` $\widehat{ABD}$ `+` $\widehat{ADB}$ `=` $\widehat{CBD}$ `=` $\widehat{BEH}$ `(=90^o)`

Do $\widehat{ABD}$ `=` $\widehat{CBD}$ `(cmt)` nên $\widehat{ADB}$ `=` $\widehat{BEH}$

Mà $\widehat{BEH}$ `=` $\widehat{AED}$ (Hai góc đối đỉnh)

`=>` $\widehat{ADB}$ `=` $\widehat{AED}$ hay $\widehat{ADE}$ `=` $\widehat{AED}$

`=>` $\triangle$`ADE` cân tại `A => AD = AE`

`=> A` cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng `DE`

`=> A` thuộc đường trung trực của `DE`

Mà `I` là trung điểm của `DE`

`=> I` thuộc đường trung trực của `DE`

`=> AI` là đường trung trực của `DE`

`=> AI` $\bot$ `DE`

`=>` $\widehat{AIE}$ `= 90^o`

Xét $\triangle$`AIE` và $\triangle$`BHE`, ta có:

$\widehat{AIE}$ `=` $\widehat{BEH}$ (Hai góc đối đỉnh);

$\widehat{EHB}$ `=` $\widehat{AIE}$ `(=90^o)`

`=>` $\triangle$`AIE` $\backsim$ $\triangle$`BHE` `(g.g)`

`=> (EI)/(EH) = (EA)/(EB) => EI*EB = EH*EA (đpcm)`

`#yayfishi``ng`