Gọi số cán bộ của đội 1, 2, 3 lần lượt là $a, b, c$ (người, $a,b,c \in \mathbb{N}^*$).

Vì 3 xã có cùng số người đăng ký tiêm, mỗi người có năng suất như nhau, nên tổng công việc mỗi đội hoàn thành bằng nhau:
$6a = 12b = 8c$
`-` Chia cả ba vế cho $24$:
$\dfrac{6a}{24} = \dfrac{12b}{24} = \dfrac{8c}{24} \Rightarrow \dfrac{a}{4} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3}$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau và $a + b + c = 36$:
$\dfrac{a}{4} = \dfrac{b}{2} = \dfrac{c}{3} = \dfrac{a+b+c}{4+2+3} = \dfrac{36}{9} = 4$
$\Rightarrow a = 4 \times 4 = 16, \quad b = 2 \times 4 = 8, \quad c = 3 \times 4 = 12$

Vậy đội 1 có $16$ người, đội 2 có $8$ người, đội 3 có $12$ người.