Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{ 1: Bất phương trình } 4x^2 - x + 1 < 0 \\
& \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 \\
& \Delta = 1 - 16 \\
& \Delta = -15 \\
& \begin{cases} \Delta < 0 \\ a = 4 > 0 \end{cases} \\
& 4x^2 - x + 1 > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \\
& \text{ Bất phương trình vô nghiệm } (S = \emptyset)
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
& \text{ 2: Bất phương trình } -3x^2 + x + 4 \ge 0 \\
& -3x^2 + x + 4 = 0 \\
& \left[ \begin{matrix} x = -1 \\ x = \dfrac{4}{3} \end{matrix} \right. \\
& \begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & \dfrac{4}{3} & & +\infty \\
\hline
-3x^2+x+4 & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{array} \\
& -1 \le x \le \dfrac{4}{3} \\
& \text{ Tập nghiệm } S = \left[ -1; \dfrac{4}{3} \right]
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
& \text{ 3: Bất phương trình } x^2 - x - 6 \le 0 \\
& x^2 - x - 6 = 0 \\
& \left[ \begin{matrix} x = -2 \\ x = 3 \end{matrix} \right. \\
& \begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & -2 & & 3 & & +\infty \\
\hline
x^2-x-6 & & + & 0 & - & 0 & + & \\
\hline
\end{array} \\
& -2 \le x \le 3 \\
& \text{ Tập nghiệm } S = [-2; 3]
\end{aligned}$

$\begin{aligned}
& \text{ 4: Bất phương trình } -5x^2 + 4x + 12 < 0 \\
& -5x^2 + 4x + 12 = 0 \\
& \left[ \begin{matrix} x = -\dfrac{6}{5} \\ x = 2 \end{matrix} \right. \\
& \begin{array}{|c|ccccccc|}
\hline
x & -\infty & & -\dfrac{6}{5} & & 2 & & +\infty \\
\hline
-5x^2+4x+12 & & - & 0 & + & 0 & - & \\
\hline
\end{array} \\
& \left[ \begin{matrix} x < -\dfrac{6}{5} \\ x > 2 \end{matrix} \right. \\
& \text{ Tập nghiệm } S = \left( -\infty; -\dfrac{6}{5} \right) \cup (2; +\infty)
\end{aligned}$