Đáp án:

a) Có $\widehat{BAC}=\widehat{AKB}=90^\circ$ và chung góc tại đỉnh $B$

$\Rightarrow \Delta AKB\backsim\Delta CAB$ (góc-góc).

b) Pythagoras: $BC=\sqrt{AB^2+AC^2}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$.

$2S_{\Delta ABC}=AK.BC=AB.AC\Rightarrow AK=\dfrac{AB.AC}{BC}$

$\Rightarrow AK=\dfrac{6.8}{10}=4,8$.

Pythagoras: $BK=\sqrt{AB^2-AK^2}=\sqrt{6^2-4,8^2}=3,6$.

$\dfrac{HB}{HA}=\dfrac{BK}{AK}=\dfrac{3,6}{4,8}=\dfrac34$.

c) Hệ thức lượng trong $\Delta ABC$ vuông tại $A$

$AK^2=BK.CK$ (1).

Có $\widehat{IGK}=\widehat{EAK}$ ($=180^\circ-\widehat{AEK}$).

Và có chung góc tại đỉnh $E$

$\Rightarrow\Delta IGK\backsim\Delta EAK$ (góc-góc)

$\Rightarrow\dfrac{IK}{GK}=\dfrac{EK}{AK}\Rightarrow IK.AK=EK.GK$ (2).

Lấy (1)/(2) có $\dfrac{AK^2}{IK.AK}=\dfrac{BK.CK}{EK.GK}$

$\Rightarrow \dfrac{AK}{IK}=\dfrac{2.GK.2.EK}{EK.GK}=4$

$\Rightarrow AK=4IK$.