Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 a) 

Ta có $\widehat{BAC} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{BAN} + \widehat{CAH} = 90^\circ$.

$\Delta NAB$ vuông ($\widehat{BNA} = 90^\circ$), ta có $\widehat{BAN} + \widehat{ABN} = 90^\circ$.

suy ra $\widehat{CAH} = \widehat{ABN}$ (vì cùng phụ với $\widehat{BAN}$).

Xét hai tam giác vuông $\Delta HCA$ (vuông tại $H$) và $\Delta NAB$ (vuông tại $N$), ta có:

Cạnh huyền: $AC = AB$ (do $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$).

$\widehat{CAH} = \widehat{ABN}$

$⇒\Delta HCA = \Delta NAB$ ( cạnh huyền - góc nhọn).

$⇒ CH = AN$ và $AH = BN$).

b)

$AM = CM$ (vì $AM = \frac{1}{2}BC = CM$ - tc đường trung tuyến).

Ta có $\widehat{MAC} = 45^\circ$. Do đó, $\widehat{MAN} = \widehat{MAC} - \widehat{CAH} = 45^\circ - \widehat{CAH}$ (1).

$\Delta AHC$ vuông , có $\widehat{ACH} = 90^\circ - \widehat{CAH}$.

Mà $\widehat{ACM} = 45^\circ$ (tc tam giác vuông cân).

$⇒ \widehat{MCH} = \widehat{ACH} - \widehat{ACM} = (90^\circ - \widehat{CAH}) - 45^\circ = 45^\circ - \widehat{CAH}$ (2).

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \widehat{MAN} = \widehat{MCH}$.

Xét $\Delta AMN$ và $\Delta CMH$, ta có:

$AM = CM$ (cmt)

$\widehat{MAN} = \widehat{MCH}$ (cmt)

$AN = CH$ (cmt)

Vậy $\Delta AMN = \Delta CMH$ (c-g-c).

c)

$\Delta AMN = \Delta CMH$

$⇒MN = MH$ (hai cạnh tương ứng) $\Rightarrow \Delta NMH$ cân tại $M$.

$⇒\widehat{AMN} = \widehat{CMH}$ (hai góc tương ứng).

$AM \perp BC \Rightarrow \widehat{AMC} = 90^\circ$.

$\widehat{AMC} = \widehat{AMH} + \widehat{CMH} = 90^\circ$.

$⇔\widehat{AMH} + \widehat{AMN} = 90^\circ$.

$⇔\widehat{NMH} = 90^\circ$.

$\Delta NMH$ có : 

$MN = MH$

$\widehat{NMH} = 90^\circ$,

$⇒\Delta NMH$ là tam giác vuông cân tại $M$.