Đáp án + Giải thích các bước giải:

$\begin {cases} \sqrt{x^2 + y^2 + 2x + 1} - y = m \\ x^2 + 2x + y^2 - 3y + 2 = 0\end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases}  \sqrt{x^2 + y^2 + 2x + 1} = m + y \\ x^2 + y^2 + 2x = 3y - 2 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases}  \sqrt{-y^2 + 3y - 2 + y^2 + 1} = m + y \\ x^2 + 2x = -y^2 + 3y - 2 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases}  \sqrt{3y - 1} = m + y \\ x^2 + 2x = -y^2 + 3y - 2 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases}  3y - 1 = m^2 + 2my + y^2 \\ x^2 + 2x = -y^2 + 3y - 2 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases}  y^2 + (2m - 3)y + m^2 + 1 = 0 (1) \\ x^2 + 2x = -y^2 + 3y - 2 (2) \end {cases}$

Xét phương trình $(1)$ có dạng $ay^2 +by + c = 0$ với $a = 1, b = 2m - 3$ và $c = m^2 + 1$

$\Delta = b^2 - 4ac = (2m - 3)^2 - 4(m^2 + 1) = 5 - 12m$

Để hệ phương trình ban đầu có nghiệm thực duy nhất thì phương trình $(1)$ có nghiệm kép

$\Leftrightarrow \Delta = 5 - 12m = 0$

$\Leftrightarrow m = \dfrac{5}{12}$

$\Rightarrow y = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{3 - 2m}{2} = \dfrac{3 - \frac{5}{6}}{2} = \dfrac{13}{12}$

Để hệ phương trình ban đầu có nghiệm thực duy nhất thì phương trình $(2)$ có nghiệm duy nhất

Thay $y = \dfrac{13}{12}$ vào $(2)$, ta có:

$x^2 + 2x = -\dfrac{169}{144} + \dfrac{13}{4} - 2$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x = \dfrac{11}{144}$

$\Leftrightarrow x^2 + 2x + 1 = \dfrac{155}{144}$

$\Leftrightarrow (x + 1)^2 = \dfrac{155}{144}$

$\Leftrightarrow x = \pm\dfrac{\sqrt{155}}{12} - 1 ($không thoả mãn$)$

Vậy không có $m$ thoả mãn đề bài