Cho tam giác ABC vuông tại A, AH là đường cao, BD là đường phân giác. Gọi I là giao điểm của AH và BD.

a) Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác HBI.

b) Chứng minh tam giác ADI cân.

Đáp án:

 

Giải thích các bước giải:

Ta có tam giác ABCABCABC vuông tại AAA, AHAHAH là đường cao, BDBDBD là đường phân giác của ∠ABC\angle ABC∠ABC, I=AH∩BDI = AH \cap BDI=AH∩BD.

a) Chứng minh △ABD∼△HBI\triangle ABD \sim \triangle HBI△ABD∼△HBI

Xét hai tam giác ABDABDABD và HBIHBIHBI:

• Vì BDBDBD là đường phân giác của ∠ABC\angle ABC∠ABC nên:

∠ABD=∠DBA\angle ABD = \angle DBA∠ABD=∠DBA

Mà I∈BDI \in BDI∈BD nên:

∠ABD=∠HBI\angle ABD = \angle HBI∠ABD=∠HBI

• Ta có:

  • AH⊥BC⇒∠AHB=90∘AH \perp BC \Rightarrow \angle AHB = 90^\circAH⊥BC⇒∠AHB=90∘

  • ABCABCABC vuông tại A⇒∠A=90∘A \Rightarrow \angle A = 90^\circA⇒∠A=90∘

Suy ra:

∠ADB=∠HIB\angle ADB = \angle HIB∠ADB=∠HIB

Vậy hai tam giác ABDABDABD và HBIHBIHBI có:

∠ABD=∠HBI,∠ADB=∠HIB\angle ABD = \angle HBI,\quad \angle ADB = \angle HIB∠ABD=∠HBI,∠ADB=∠HIB

⇒ △ABD∼△HBI\triangle ABD \sim \triangle HBI△ABD∼△HBI (g.g)

b) Chứng minh tam giác ADIADIADI cân

Từ câu a), vì △ABD∼△HBI\triangle ABD \sim \triangle HBI△ABD∼△HBI nên:

ADHI=BDBI\frac{AD}{HI} = \frac{BD}{BI}HIAD​=BIBD​

Mà:

• BDBDBD là phân giác của ∠ABC\angle ABC∠ABC nên:

ADDC=ABBC\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC}DCAD​=BCAB​

Suy ra:

AD=DIAD = DIAD=DI

Vậy:

AD=DI⇒△ADI caˆn tại DAD = DI \Rightarrow \triangle ADI \text{ cân tại } DAD=DI⇒△ADI caˆn tại D