Giải thích các bước giải:

Bài 3:

a.

$\begin{aligned}
& \text{Ta có: } \Delta' = (-m)^2 - 1 \cdot (2m - 1) \\
& = m^2 - 2m + 1 \\
& = (m - 1)^2 \\
& \text{Vì } (m - 1)^2 \ge 0 \text{ với mọi } m \text{ nên phương trình luôn có nghiệm.}
\end{aligned}$

b.

$\begin{aligned}
& \text{Theo định lý Vi-ét: } \begin{cases} x_1 + x_2 = 2m \\ x_1x_2 = 2m - 1 \end{cases} \\
& \text{Thay vào biểu thức đề bài:} \\
& 2(2m) = 3(2m - 1) + 7 \\
& \Leftrightarrow 4m = 6m - 3 + 7 \\
& \Leftrightarrow 4m = 6m + 4 \\
& \Leftrightarrow -2m = 4 \\
& \Leftrightarrow m = -2
\end{aligned}$

c.

$\begin{aligned}
& \text{Ta có hệ phương trình:} \\
& \begin{cases} x_1 + x_2 = 2m \quad (1) \\ x_1 = 2x_2 \quad (2) \\ x_1x_2 = 2m - 1 \quad (3) \end{cases} \\
& \text{Thay (2) vào (1): } 2x_2 + x_2 = 2m \Leftrightarrow 3x_2 = 2m \Leftrightarrow x_2 = \dfrac{2m}{3} \\
& \Rightarrow x_1 = \dfrac{4m}{3} \\
& \text{Thay } x_1, x_2 \text{ vào (3):} \\
& \left(\dfrac{4m}{3}\right) \cdot \left(\dfrac{2m}{3}\right) = 2m - 1 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{8m^2}{9} = 2m - 1 \\
& \Leftrightarrow 8m^2 = 9(2m - 1) \\
& \Leftrightarrow 8m^2 - 18m + 9 = 0 \\
& \Delta_m' = (-9)^2 - 8 \cdot 9 = 81 - 72 = 9 \\
& \Rightarrow m = \dfrac{9 \pm 3}{8} \Rightarrow \left[ \begin{aligned} & m = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} \\ & m = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} \end{aligned} \right.
\end{aligned}$

d.

$\begin{aligned}
& \text{Kết hợp với tổng hai nghiệm:} \\
& \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 4 \\ x_1 + x_2 = 2m \end{cases} \Rightarrow x_2 = 4 - 2m \\
& \Rightarrow x_1 = 2m - x_2 = 2m - (4 - 2m) = 4m - 4 \\
& \text{Thay vào tích hai nghiệm } x_1x_2 = 2m - 1: \\
& (4m - 4)(4 - 2m) = 2m - 1 \\
& \Leftrightarrow 16m - 8m^2 - 16 + 8m = 2m - 1 \\
& \Leftrightarrow -8m^2 + 24m - 16 = 2m - 1 \\
& \Leftrightarrow 8m^2 - 22m + 15 = 0 \\
& \Delta_m' = (-11)^2 - 8 \cdot 15 = 121 - 120 = 1 \\
& \Rightarrow m = \dfrac{11 \pm 1}{8} \Rightarrow \left[ \begin{aligned} & m = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2} \\ & m = \dfrac{10}{8} = \dfrac{5}{4} \end{aligned} \right.
\end{aligned}$

e.

$\begin{aligned}
& B = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 + 11 \\
& = (2m)^2 - 2(2m - 1) + 11 \\
& = 4m^2 - 4m + 2 + 11 \\
& = 4m^2 - 4m + 13 \\
& = (2m - 1)^2 + 12 \\
& \text{Vì } (2m - 1)^2 \ge 0 \Rightarrow B \ge 12 \\
& \text{Vậy } B_{\min} = 12 \text{ khi } 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2}
\end{aligned}$

f.

$\begin{aligned}
& \text{ĐK: } x_1, x_2 \ne 0 \Leftrightarrow x_1x_2 \ne 0 \Leftrightarrow 2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2} \\
& \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = 2 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{2m}{2m - 1} = 2 \\
& \Rightarrow 2m = 2(2m - 1) \\
& \Leftrightarrow 2m = 4m - 2 \\
& \Leftrightarrow 2m = 2 \Leftrightarrow m = 1 \quad (\text{Thỏa mãn ĐK})
\end{aligned}$

h.

$\begin{aligned}
& \text{Ta có: } \begin{cases} x_1 + x_2 = 2m \Rightarrow m = \dfrac{x_1 + x_2}{2} \\ x_1x_2 = 2m - 1 \end{cases} \\
& \text{Thay m vào phương trình tích:} \\
& x_1x_2 = 2\left(\dfrac{x_1 + x_2}{2}\right) - 1 \\
& \Leftrightarrow x_1x_2 = x_1 + x_2 - 1 \\
& \Leftrightarrow x_1 + x_2 - x_1x_2 - 1 = 0
\end{aligned}$

Bài 4:

a.

$\begin{aligned}
& \Delta = (-m)^2 - 4(1)(m - 2) \\
& = m^2 - 4m + 8 \\
& = (m - 2)^2 + 4 \\
& \text{Vì } (m - 2)^2 \ge 0 \Rightarrow \Delta \ge 4 > 0 \text{ với mọi } m \\
& \text{Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt.}
\end{aligned}$

b.

$\begin{aligned}
& \text{Theo Vi-ét: } \begin{cases} x_1 + x_2 = m \\ x_1x_2 = m - 2 \end{cases} \\
& (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 19 \\
& \Leftrightarrow m^2 - 2(m - 2) = 19 \\
& \Leftrightarrow m^2 - 2m + 4 - 19 = 0 \\
& \Leftrightarrow m^2 - 2m - 15 = 0 \\
& \Leftrightarrow (m - 5)(m + 3) = 0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m = 5 \\ & m = -3 \end{aligned} \right.
\end{aligned}$

c.

$\begin{aligned}
& \text{ĐK: } x_1x_2 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 2 \\
& \dfrac{x_1 + x_2}{x_1x_2} = \dfrac{2}{5} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{m}{m - 2} = \dfrac{2}{5} \\
& \Rightarrow 5m = 2(m - 2) \\
& \Leftrightarrow 5m = 2m - 4 \\
& \Leftrightarrow 3m = -4 \Leftrightarrow m = -\dfrac{4}{3} \quad (\text{Thỏa mãn})
\end{aligned}$

d.

$\begin{aligned}
& \text{ĐK: } m \ne 2 \\
& \dfrac{m}{m - 2} = 2(m - 2) - 1 \\
& \Leftrightarrow \dfrac{m}{m - 2} = 2m - 5 \\
& \Rightarrow m = (2m - 5)(m - 2) \\
& \Leftrightarrow m = 2m^2 - 4m - 5m + 10 \\
& \Leftrightarrow 2m^2 - 10m + 10 = 0 \\
& \Leftrightarrow m^2 - 5m + 5 = 0 \\
& \Delta = 25 - 20 = 5 \\
& \Rightarrow m = \dfrac{5 \pm \sqrt{5}}{2} \quad (\text{Thỏa mãn})
\end{aligned}$

e.

$\begin{aligned}
& \Rightarrow x_1 = -2x_2 \\
& \text{Thay vào tổng: } x_1 + x_2 = -2x_2 + x_2 = -x_2 = m \Rightarrow x_2 = -m \\
& \Rightarrow x_1 = 2m \\
& \text{Thay vào tích: } x_1x_2 = (2m)(-m) = -2m^2 \\
& \Rightarrow -2m^2 = m - 2 \\
& \Leftrightarrow 2m^2 + m - 2 = 0 \\
& \Delta = 1 - 4(2)(-2) = 17 \\
& \Rightarrow m = \dfrac{-1 \pm \sqrt{17}}{4}
\end{aligned}$

f.

$\begin{aligned}
& A = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 - 4x_1x_2 + 2022 \\
& = (x_1 + x_2)^2 - 6x_1x_2 + 2022 \\
& = m^2 - 6(m - 2) + 2022 \\
& = m^2 - 6m + 12 + 2022 \\
& = m^2 - 6m + 2034 \\
& = (m - 3)^2 + 2025 \\
& \text{Vì } (m - 3)^2 \ge 0 \text{ nên } A \ge 2025 \\
& \text{Vậy } A_{\min} = 2025 \text{ khi } m = 3
\end{aligned}$

h.

$\begin{aligned}
& A = m - (m - 2) + 2022 \\
& A = m - m + 2 + 2022 \\
& A = 2024 \\
& \text{Vậy giá trị của A là hằng số, không phụ thuộc vào m.}
\end{aligned}$