Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 $T=\text{log}^2_y\ x+2\ \text{log}_y\left(\dfrac{1}{6x-4\sqrt{2}}\right)$

$⇒T=\text{log}^2_y\ x-2\ \text{log}_y(6x-4\sqrt{2})$

Đặt $\begin{cases}
a=\log_y x>0\\
k=\log_x(6x-4\sqrt2)
\end{cases}$

$⇒\text{log}_y(6x-4\sqrt{2})=\text{log}_x(6x-4\sqrt{2})·\text{log}_y\ x=ka$

$⇒T=a^2-2ka=(a-k)^2-k^2≥-k^2$

Với $x$ cố định $(k$ cố định$)$, dấu $"="$ đạt được khi $a=k$$($chọn $y=x^{\frac{1}{k}}>1$ khi $k>0)$

Ta có:

$x^3-6x+4\sqrt{2}=(x-\sqrt{2})^2(x+2\sqrt{2})≥0\ (x>1)$

$⇒6x-4\sqrt{2}≤x^3$

$⇒k=\text{log}_x(6x-4\sqrt{2})≤\text{log}_xx^3=3$

$⇒T≥-k^2≥-3^2=-9$

Dấu $"="$ xảy ra khi $x=\sqrt{2},$ khi đó $6x-4\sqrt{2}=x^3⇒k=3$

Chọn $y=x^{\frac{1}{3}}$ để $\text{log}_y\ x=3$

$⇒T_{\text{min}}=-9$

$⇒\left|T_{\text{min}}\right|=9$