Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Phương trình hoành độ giao điểm của } (P) \text{ và } (d): \\
& x^2 = mx + 2 \\
& \Leftrightarrow x^2 - mx - 2 = 0 \\
& \text{Ta có: } \Delta = (-m)^2 - 4(1)(-2) = m^2 + 8 > 0, \forall m \in \mathbb{R}. \\
& \Rightarrow (d) \text{ luôn cắt } (P) \text{ tại hai điểm phân biệt } A(x_1; y_1) \text{ và } B(x_2; y_2). \\
& \text{Theo hệ thức Vi-ét:} \\
& \begin{cases} x_1 + x_2 = m \\ x_1 x_2 = -2 \end{cases} \\
& \text{Gọi } C \text{ là giao điểm của } (d) \text{ với trục tung } Oy. \\
& \text{Cho } x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow C(0; 2) \Rightarrow OC = 2. \\
& \text{Diện tích tam giác } OAB: \\
& S_{OAB} = S_{OAC} + S_{OBC} \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot |x_1| + \dfrac{1}{2} \cdot OC \cdot |x_2| \\
& = \dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot (|x_1| + |x_2|) \\
& = |x_1| + |x_2| \\
& \text{Do } x_1 x_2 = -2 < 0 \text{ nên } x_1, x_2 \text{ trái dấu} \Rightarrow |x_1| + |x_2| = |x_1 - x_2|. \\
& \Rightarrow S_{OAB} = \sqrt{(x_1 - x_2)^2} = \sqrt{(x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2} \\
& = \sqrt{m^2 - 4(-2)} = \sqrt{m^2 + 8}. \\
& \text{Theo đề bài, } S_{OAB} = 2m + 1: \\
& \sqrt{m^2 + 8} = 2m + 1 \\
& \Leftrightarrow \begin{cases} 2m + 1 \ge 0 \\ m^2 + 8 = (2m + 1)^2 \end{cases} \\
& \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -\dfrac{1}{2} \\ m^2 + 8 = 4m^2 + 4m + 1 \end{cases} \\
& \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -\dfrac{1}{2} \\ 3m^2 + 4m - 7 = 0 \end{cases} \\
& \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -\dfrac{1}{2} \\ (m - 1)(3m + 7) = 0 \end{cases} \\
& \Leftrightarrow \begin{cases} m \ge -0,5 \\ \left[ \begin{aligned} & m = 1 \\ & m = -\dfrac{7}{3} \end{aligned} \right. \end{cases} \\
& \Rightarrow m = 1 \quad \left( \text{do } -\dfrac{7}{3} < -0,5 \text{ bị loại} \right). \\
& \text{Vậy } m = 1.
\end{aligned}$