Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Phương trình tham số của đường thẳng } BD': \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 + 2t \end{cases} \\
& \text{Vectơ chỉ phương của } BD': \vec{u} = (1; 2; 2) \\
& \text{Lấy điểm } M(1; 1; 2) \in BD' \\
& \text{Điểm } C'(3; 2; 3) \Rightarrow \vec{MC'} = (2; 1; 1) \\
& \left[ \vec{MC'}, \vec{u} \right] = \left( \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \right) = (0; -3; 3) \\
& h = d(C', BD') = \dfrac{\left| \left[ \vec{MC'}, \vec{u} \right] \right|}{|\vec{u}|} = \dfrac{\sqrt{0^2 + (-3)^2 + 3^2}}{\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}} = \dfrac{3\sqrt{2}}{3} = \sqrt{2} \\
& \text{Gọi } a \text{ là cạnh của hình lập phương } (a > 0) \\
& \text{Xét } \Delta BC'D' \text{ vuông tại } C' \text{ (do } C'D' \perp (BCC'B') \Rightarrow C'D' \perp BC') \\
& \text{Đường cao hạ từ đỉnh góc vuông } C' \text{ xuống cạnh huyền } BD' \text{ có độ dài là } h \\
& \dfrac{1}{h^2} = \dfrac{1}{C'B^2} + \dfrac{1}{C'D'^2} = \dfrac{1}{(a\sqrt{2})^2} + \dfrac{1}{a^2} \\
& \Rightarrow \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2a^2} + \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{3}{2a^2} \\
& \Rightarrow 2a^2 = 6 \\
& \Rightarrow a = \sqrt{3} \\
& V = a^3 = (\sqrt{3})^3 = 3\sqrt{3}
\end{aligned}$