Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Hệ bất phương trình:} \\
& \begin{cases} x^2 + y^2 - 2x - 4y \le 5 \quad (1) \\ x + y \ge 5 \quad (2) \\ x^2 + y^2 \ge 10 \quad (3) \\ x > y \quad (4) \\ x, y \in \mathbb{N} \end{cases} \\
& \text{Biến đổi (1):} \\
& (x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 4y + 4) \le 5 + 1 + 4 \\
& \Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 10 \\
& \text{Từ đó suy ra miền giá trị của } x \text{ và } y: \\
& (x - 1)^2 \le 10 \Rightarrow -\sqrt{10} \le x - 1 \le \sqrt{10} \Rightarrow -2,16 \le x \le 4,16 \\
& \text{Vì } x \in \mathbb{N} \text{ nên } x \in \{0; 1; 2; 3; 4\}. \\
& \text{Xét các trường hợp của } x: \\
& \text{Trường hợp 1: } x = 4 \\
& \text{Thay vào (1): } (4 - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 10 \Leftrightarrow 9 + (y - 2)^2 \le 10 \Leftrightarrow (y - 2)^2 \le 1 \\
& \Leftrightarrow -1 \le y - 2 \le 1 \Leftrightarrow 1 \le y \le 3. \\
& \Rightarrow y \in \{1; 2; 3\}. \\
& \text{Kiểm tra các điều kiện còn lại với } x = 4: \\
& \bullet \quad y = 1: \begin{cases} x > y \Rightarrow 4 > 1 \text{ (Đúng)} \\ x + y = 5 \ge 5 \text{ (Đúng)} \\ x^2 + y^2 = 17 \ge 10 \text{ (Đúng)} \end{cases} \Rightarrow (4; 1) \text{ là nghiệm.} \\
& \bullet \quad y = 2: \begin{cases} x > y \Rightarrow 4 > 2 \text{ (Đúng)} \\ x + y = 6 \ge 5 \text{ (Đúng)} \\ x^2 + y^2 = 20 \ge 10 \text{ (Đúng)} \end{cases} \Rightarrow (4; 2) \text{ là nghiệm.} \\
& \bullet \quad y = 3: \begin{cases} x > y \Rightarrow 4 > 3 \text{ (Đúng)} \\ x + y = 7 \ge 5 \text{ (Đúng)} \\ x^2 + y^2 = 25 \ge 10 \text{ (Đúng)} \end{cases} \Rightarrow (4; 3) \text{ là nghiệm.} \\
& \text{Trường hợp 2: } x = 3 \\
& \text{Thay vào (1): } (3 - 1)^2 + (y - 2)^2 \le 10 \Leftrightarrow 4 + (y - 2)^2 \le 10 \Leftrightarrow (y - 2)^2 \le 6. \\
& \Rightarrow -\sqrt{6} \le y - 2 \le \sqrt{6} \Rightarrow -0,45 \le y \le 4,45. \\
& \text{Kết hợp (2) và (4): } \begin{cases} x + y \ge 5 \Rightarrow 3 + y \ge 5 \Rightarrow y \ge 2 \\ x > y \Rightarrow 3 > y \end{cases} \\
& \Rightarrow y = 2. \\
& \text{Kiểm tra (3) với } (3; 2): x^2 + y^2 = 9 + 4 = 13 \ge 10 \text{ (Đúng)}. \\
& \Rightarrow (3; 2) \text{ là nghiệm.} \\
& \text{Trường hợp 3: } x \le 2 \\
& \text{Để } x + y \ge 5 \Rightarrow y \ge 5 - x \ge 3. \\
& \text{Khi đó } y \ge 3 > 2 \ge x \Rightarrow y > x \text{ (Vi phạm điều kiện } x > y). \\
& \Rightarrow \text{Không có nghiệm.} \\
& \text{Kết luận: Có 4 cặp nghiệm nguyên thỏa mãn là } (4; 1), (4; 2), (4; 3), (3; 2).
\end{aligned}$