Giải thích các bước giải:

Câu 19:

$\begin{aligned}
& \text{Cho phương trình: } x^2 - 2mx + 2m - 3 = 0 \\
& \text{Xét biệt thức } \Delta': \\
& \Delta' = (-m)^2 - 1 \cdot (2m - 3) \\
& = m^2 - 2m + 3 \\
& = (m - 1)^2 + 2 > 0 \quad \forall m \in \mathbb{R} \\
& \Rightarrow \text{Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt } x_1, x_2. \\
& \text{Theo hệ thức Vi-ét: } \begin{cases} x_1 + x_2 = 2m \\ x_1x_2 = 2m - 3 \end{cases} \\
& \text{Biểu thức } A = x_1^2 + x_2^2 \\
& = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 \\
& = (2m)^2 - 2(2m - 3) \\
& = 4m^2 - 4m + 6 \\
& = (2m - 1)^2 + 5 \\
& \text{Vì } (2m - 1)^2 \ge 0 \Rightarrow A \ge 5 \\
& \text{Dấu "=" xảy ra khi } 2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{2} \\
& \text{Vậy giá trị nhỏ nhất của } A \text{ là } 5 \text{ khi } m = \dfrac{1}{2}.
\end{aligned}$

Câu 20:

 $\begin{aligned}
& \text{Cho phương trình: } x^2 - (2m + 1)x + m^2 + 2 = 0 \\
& \text{Xét } \Delta: \\
& \Delta = [-(2m + 1)]^2 - 4(m^2 + 2) \\
& = 4m^2 + 4m + 1 - 4m^2 - 8 \\
& = 4m - 7 \\
& \text{Để phương trình có 2 nghiệm } x_1, x_2 \text{ thì } \Delta \ge 0: \\
& 4m - 7 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge \dfrac{7}{4} \\
& \text{Theo hệ thức Vi-ét: } \begin{cases} x_1 + x_2 = 2m + 1 \\ x_1x_2 = m^2 + 2 \end{cases} \\
& \text{Theo đề bài: } 3x_1x_2 - 5(x_1 + x_2) + 7 = 0 \\
& \Leftrightarrow 3(m^2 + 2) - 5(2m + 1) + 7 = 0 \\
& \Leftrightarrow 3m^2 + 6 - 10m - 5 + 7 = 0 \\
& \Leftrightarrow 3m^2 - 10m + 8 = 0 \\
& \Delta'_m = (-5)^2 - 3 \cdot 8 = 25 - 24 = 1 \\
& \Rightarrow \left[ \begin{aligned} & m = \dfrac{5 + 1}{3} = 2 \quad (\text{thỏa mãn } m \ge 1,75) \\ & m = \dfrac{5 - 1}{3} = \dfrac{4}{3} \quad (\text{loại vì } \dfrac{4}{3} < 1,75) \end{aligned} \right. \\
& \text{Vậy } m = 2.
\end{aligned}$

Câu 21:

$\begin{aligned}
& \text{Cho phương trình: } x^2 - 2mx + 4 = 0 \quad (1) \\
& \text{a) Giải phương trình khi } m = 3: \\
& x^2 - 6x + 4 = 0 \\
& \Delta' = (-3)^2 - 4 = 5 \\
& \Rightarrow x_1 = 3 + \sqrt{5}; \quad x_2 = 3 - \sqrt{5} \\
& \text{Vậy tập nghiệm } S = \{ 3 - \sqrt{5}; 3 + \sqrt{5} \} \\
& \text{b) Tìm } m \text{ để } (x_1 + 1)^2 + (x_2 + 1)^2 = 2: \\
& \text{Điều kiện có nghiệm: } \Delta' = m^2 - 4 \ge 0 \Leftrightarrow |m| \ge 2 \\
& \text{Theo hệ thức Vi-ét: } \begin{cases} x_1 + x_2 = 2m \\ x_1x_2 = 4 \end{cases} \\
& \text{Biến đổi yêu cầu bài toán:} \\
& (x_1 + 1)^2 + (x_2 + 1)^2 = 2 \\
& \Leftrightarrow x_1^2 + 2x_1 + 1 + x_2^2 + 2x_2 + 1 = 2 \\
& \Leftrightarrow (x_1^2 + x_2^2) + 2(x_1 + x_2) = 0 \\
& \Leftrightarrow (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 + 2(x_1 + x_2) = 0 \\
& \Leftrightarrow (2m)^2 - 2 \cdot 4 + 2 \cdot 2m = 0 \\
& \Leftrightarrow 4m^2 + 4m - 8 = 0 \\
& \Leftrightarrow m^2 + m - 2 = 0 \\
& \Leftrightarrow (m - 1)(m + 2) = 0 \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & m = 1 \quad (\text{loại vì không thỏa mãn } |m| \ge 2) \\ & m = -2 \quad (\text{thỏa mãn}) \end{aligned} \right. \\
& \text{Vậy } m = -2.
\end{aligned}$

Câu 22:

$\begin{aligned}
& \text{Cho phương trình: } x^2 + 2x + m = 0 \\
& \text{Điều kiện có nghiệm: } \Delta' = 1 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 1 \\
& \text{Theo hệ thức Vi-ét: } \begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \quad (1) \\ x_1x_2 = m \quad (2) \end{cases} \\
& \text{Theo đề bài: } 3x_1 + 2x_2 = 1 \quad (3) \\
& \text{Từ (1) và (3) ta có hệ phương trình:} \\
& \begin{cases} 2x_1 + 2x_2 = -4 \quad (\text{nhân 2 vào phương trình (1)}) \\ 3x_1 + 2x_2 = 1 \end{cases} \\
& \text{Lấy phương trình dưới trừ phương trình trên:} \\
& (3x_1 + 2x_2) - (2x_1 + 2x_2) = 1 - (-4) \\
& \Leftrightarrow x_1 = 5 \\
& \text{Thay } x_1 = 5 \text{ vào (1): } 5 + x_2 = -2 \Rightarrow x_2 = -7 \\
& \text{Thay } x_1, x_2 \text{ vào (2) để tìm } m: \\
& m = 5 \cdot (-7) = -35 \\
& \text{Kiểm tra điều kiện: } -35 \le 1 \quad (\text{thỏa mãn}) \\
& \text{Vậy } m = -35.
\end{aligned}$