`color{#8FBC8F}{~} color{#C1FFC1}{b} color{#B4EEB4}{u} color{#9BCD9B}{i} color{#698B69}{g} color{#2E8B57}{i} color{#54FF9F}{a} color{#4EEE94}{p} color{#43CD80}{h} color{#98FB98}{o} color{#008B45}{n} color{#00FF00}{g} color{#00EE00}{9} color{#00CD00}{9} color{#ADFF2F}{9} color{#228B22}{~}`

Bài `5:`

`*** TH_1: x+y+z+t ne 0`

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

`x/(y+z+t)=y/(z+t+x)=z/(t+x+y)=t/(x+y+z)=(x+y+z+t)/(3(x+y+z+t))=1/3`

`=> 3x=y+z+t=>4x=x+y+z+t`

`=> 3y=z+t+x=>4y=x+y+z+t`

`=> 3z=t+y+x=>4z=x+y+z+t`

`=> 3t=x+y+z=>4t=x+y+z+t`

Do đó `4x=4y=4z=4t=>x=y=z=t`

Thay `x=y=z=t` vào `A` ta được:

`A=(x+y)/(z+t)+(y+z)/(t+x)+(z+t)/(x+y)+(t+x)/(y+z)=(2x)/(2x)+(2x)/(2x)+(2x)/(2x)+(2x)/(2x)=1+1+1+1=4`

`*** TH_2: x+y+z+t=0`

Từ `x+y+z+t=0` ta có:

`y+z+t=-x`

`z+t+x=-y`

`t+x+y=-z`

`x+y+z=-t`

Thay vào các giá trị ban đầu, ta được:

`x/-x=y/-y=z/-z=t/-t=-1`

Do đó mỗi tỉ số đều bằng `-1`

Xét biểu thức `A` ta có:

`x+y=-(z+t)=>(x+y)/(z+t)=-1`

`y+z=-(t+x)=>(y+z)/(t+x)=-1`

`z+t=-(x+y)=>(z+t)/(x+y)=-1`

`t+x=-(y+z)=>(t+x)/(y+z)=-1`

Thay các giá trị vào `A` ta được:

`A=(-1)+(-1)+(-1)+(-1)=-4`

Ta thấy, trong cả hai trường hợp biểu thức `A` đều nhận giá trị nguyên là `4` hoặc `-4`

Vậy biểu thức `A` có giá trị nguyên.