Đáp án + Giải thích các bước giải:

$f(x) = \begin {cases} x + 1, & \text{khi } x \ge 2 \\ x^2 - 2x + 3 , &\text{khi } x <2  \end {cases}$

Đặt $F(x) = \displaystyle \int f(x)dx$

Với $x \ge 2$, ta có:

$F(x) = \displaystyle \int f(x)dx = \int (x + 1)dx = \dfrac{x^2}{2} + x + \textbf{C}_1$

Với $x < 2$, ta có:

$F(x) = \displaystyle \int f(x)dx = \int \left(x^2 - 2x + 3\right)dx = \dfrac{x^3}{3} - x^2 + 3x + \textbf{C}_2$

$\Rightarrow \displaystyle F(x) = \begin {cases} \dfrac{x^2}{2} + x + \textbf{C}_1, & \text{khi } x \ge 2 \\ \dfrac{x^3}{3} - x^2 + 3x + \textbf{C}_2 , &\text{khi } x <2  \end {cases}$

Để $\textbf{I} = \displaystyle \int^4_1 f(x)dx$ tồn tại thì $F(x)$ liên tục tại $x = 2$

$\Rightarrow \lim \limits_{x \to 2^-} F(x) = \lim \limits_{x \to 2^+}$

$\Leftrightarrow \dfrac{2^2}{2} + 2 + \textbf{C}_1 = \dfrac{2^3}{3} - 2^2 +3 \cdot 2 + \textbf{C}_2 = 4$

$\Leftrightarrow 4 + \textbf{C}_1 = \dfrac{8}{3} - 4 + 6 + \textbf{C}_2$

$\Leftrightarrow \textbf{C}_1 = \textbf{C}_2 + \dfrac{2}{3}$

$\Leftrightarrow \textbf{C}_2 = \textbf{C}_1 - \dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow F(x) = \begin {cases} \dfrac{x^2}{2} + x + \textbf{C}_1, & \text{khi } x \ge 2 \\ \dfrac{x^3}{3} - x^2 + 3x - \dfrac{2}{3} + \textbf{C}_1 , &\text{khi } x <2  \end {cases}$

$\Rightarrow \textbf{I} = \displaystyle \int^4_1 f(x)dx = F(4) - F(1) = 12 + \textbf{C}_1 - \dfrac{5}{3} - \textbf{C}_1 = \dfrac{31}{3}$