Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Tung độ đỉnh của Parabol được tính bởi công thức: } y_I = -\dfrac{\Delta}{4a} \\
& \Delta = [-2(m-1)]^2 - 4(m-2)(m+2) \\
& \Delta = 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m^2 - 4) \\
& \Delta = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 16 = -8m + 20 \\
& \text{Theo đề bài: } -\dfrac{-8m + 20}{4(m-2)} = 3m \\
& \dfrac{8m - 20}{4(m-2)} = 3m \iff \dfrac{2m - 5}{m - 2} = 3m \\
& 2m - 5 = 3m(m - 2) \iff 2m - 5 = 3m^2 - 6m \\
& 3m^2 - 8m + 5 = 0 \\
& (m - 1)(3m - 5) = 0 \\
& \begin{bmatrix} m = 1 \\ m = \dfrac{5}{3} \end{bmatrix} \text{ (Cả hai đều thỏa mãn } m \neq 2) \\
& \text{Kết quả: } m = 1 \text{ hoặc } m = \dfrac{5}{3}. \\
& \text{b) Trường hợp 1: } a = m - 2 > 0 \iff m > 2 \\
& \text{Hàm số nghịch biến trên khoảng } \left( -\infty; \dfrac{-b}{2a} \right) = \left( -\infty; \dfrac{2(m-1)}{2(m-2)} \right) = \left( -\infty; \dfrac{m-1}{m-2} \right) \\
& \text{Để hàm số nghịch biến trên } (-\infty; 2) \text{ thì: } 2 \le \dfrac{m-1}{m-2} \\
& \dfrac{m-1}{m-2} - 2 \ge 0 \iff \dfrac{m-1 - 2(m-2)}{m-2} \ge 0 \iff \dfrac{-m+3}{m-2} \ge 0 \\
& \text{Vì } m-2 > 0 \implies -m+3 \ge 0 \iff m \le 3 \\
& \text{Kết hợp điều kiện: } 2 < m \le 3 \\
& \text{Trường hợp 2: } a = m - 2 < 0 \iff m < 2 \\
& \text{Hàm số nghịch biến trên khoảng } \left( \dfrac{-b}{2a}; +\infty \right) = \left( \dfrac{m-1}{m-2}; +\infty \right) \\
& \text{Khoảng } (-\infty; 2) \text{ không thể là con của khoảng } \left( \dfrac{m-1}{m-2}; +\infty \right) \\
& \text{Kết quả: } 2 < m \le 3.
\end{aligned}$