Đáp án + Giải thích các bước giải:

Xét hình thang cân $ABCD$ với $AB // CD$

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$, từ $M$ kẻ đường trung trực của $AB$ cắt $CD$ tại $N$

Do $AB //CD$ nên $MN \bot CD$ tại $N$

Xét $\triangle AMN$ và $\triangle BMN$, ta có:

$\begin {cases} AM = BM (M\text{ là trung điểm của }AB) \\ MN\text{ chung} \\ \widehat{AMN} = \widehat{BMN} (= 90^\circ) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle AMN = \triangle BMN (\rm c - g - c)$

$\Rightarrow \widehat{NAM} = \widehat{NBM} (2$ góc tương ứng$)$

Ta có: $\widehat{DAM} = \widehat{CBM} (ABCD$ là hình thang cân$)$

$\Rightarrow \widehat{DAN} + \widehat{NAM} = \widehat{CBN} + \widehat{NBM}$

$\Rightarrow \widehat{DAN} = \widehat{CBN}$

Xét $\triangle DAN$ và $\triangle CBN$, ta có:

$\begin {cases} AD = BC (ABCD\text{ là hình thang cân}) \\ NA = NB (MN \text{ là đường trung trực của }AB) \\ \widehat{DAN}= \widehat{CBN} (\text{cmt}) \end {cases}$

$\Rightarrow \triangle DAN = \triangle CBN (\rm c - g - c)$

$\Rightarrow ND = NC (2$ cạnh tương ứng$)$

$\Rightarrow N$ là trung điểm $CD$

Mà $MN \bot CD$ tại $N$

$\Rightarrow MN$ là đường trung trực của $CD$

Kẻ đường trung trực của $AD$, cắt $MN$ tại $I$

$\Rightarrow IA = ID$

Do $I$ nằm trên $MN$ và $MN$ là đường trung trực của $AB$ và $CD$

$\Rightarrow \begin {cases} IA = IB \\ IC = ID \end {cases}$

Mà $IA = ID$ nên $IA = IB = IC = ID$

$\Rightarrow I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp hình thang cân $ABCD$

$\Rightarrow$ Hình thang cân là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm là giao điểm của đường trung trực của $2$ cạnh đáy với đường trung trực của một cạnh bên