Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Bài 3:} \\
& a) \dfrac{10}{11} \text{ và } \dfrac{31}{30}: \text{ Vì } \dfrac{10}{11} < 1 \text{ và } \dfrac{31}{30} > 1 \text{ nên } \dfrac{10}{11} < \dfrac{31}{30} \text{} \\
& b) \dfrac{19}{30} \text{ và } \dfrac{301}{450}: \text{ Ta có } \dfrac{19}{30} = \dfrac{19 \cdot 15}{30 \cdot 15} = \dfrac{285}{450}. \text{ Vì } 285 < 301 \text{ nên } \dfrac{19}{30} < \dfrac{301}{450} \text{} \\
& c) \dfrac{141}{120} \text{ và } \dfrac{350}{301}: \text{ Ta có } \dfrac{141}{120} = 1 + \dfrac{21}{120} = 1 + \dfrac{7}{40}; \quad \dfrac{350}{301} = 1 + \dfrac{49}{301} = 1 + \dfrac{7}{43}. \\
& \text{Vì } \dfrac{7}{40} > \dfrac{7}{43} \text{ nên } \dfrac{141}{120} > \dfrac{350}{301} \text{} \\

& \text{Bài 4:} \\
& a) \dfrac{3}{3n+2} \text{ và } \dfrac{2}{2n+1}: \text{ Quy đồng tử số:} \\
& \dfrac{3}{3n+2} = \dfrac{6}{6n+4}; \quad \dfrac{2}{2n+1} = \dfrac{6}{6n+2}. \text{ Vì } 6n+4 > 6n+2 \text{ nên } \dfrac{3}{3n+2} < \dfrac{2}{2n+1} \text{} \\
& b) \dfrac{2n}{2n+1} \text{ và } \dfrac{3n}{3n+1}: \text{ Xét phần bù với 1:} \\
& 1 - \dfrac{2n}{2n+1} = \dfrac{1}{2n+1}; \quad 1 - \dfrac{3n}{3n+1} = \dfrac{1}{3n+1}. \text{ Vì } 2n+1 < 3n+1 \text{ nên } \dfrac{1}{2n+1} > \dfrac{1}{3n+1} \implies \dfrac{2n}{2n+1} < \dfrac{3n}{3n+1} \text{} \\

& \text{Bài 5:} \\
& a) \dfrac{2n+1}{2n+3} \text{ và } \dfrac{3n+1}{3n+3}: \text{ Xét phần bù với 1:} \\
& 1 - \dfrac{2n+1}{2n+3} = \dfrac{2}{2n+3}; \quad 1 - \dfrac{3n+1}{3n+3} = \dfrac{2}{3n+3}. \text{ Vì } 2n+3 < 3n+3 \text{ nên } \dfrac{2}{2n+3} > \dfrac{2}{3n+3} \implies \dfrac{2n+1}{2n+3} < \dfrac{3n+1}{3n+3} \text{} \\
& c) \dfrac{2017.2018-1}{2017.2018} \text{ và } \dfrac{2018.2019-1}{2018.2019}: \text{ Xét phần bù với 1:} \\
& 1 - \dfrac{2017.2018-1}{2017.2018} = \dfrac{1}{2017.2018}; \quad 1 - \dfrac{2018.2019-1}{2018.2019} = \dfrac{1}{2018.2019}. \\
& \text{Vì } 2017.2018 < 2018.2019 \text{ nên } \dfrac{1}{2017.2018} > \dfrac{1}{2018.2019} \implies \dfrac{2017.2018-1}{2017.2018} < \dfrac{2018.2019-1}{2018.2019} \text{} \\

& \text{Bài 6:} \\
& a) \dfrac{2n}{3n+2} \text{ và } \dfrac{6n+1}{9n}: \text{ Quy đồng mẫu số chung là } 9n(3n+2): \\
& \text{Tử số 1: } 2n \cdot 9n = 18n^2 \\
& \text{Tử số 2: } (6n+1)(3n+2) = 18n^2 + 12n + 3n + 2 = 18n^2 + 15n + 2 \\
& \text{Vì } 18n^2 < 18n^2 + 15n + 2 \text{ nên } \dfrac{2n}{3n+2} < \dfrac{6n+1}{9n} \text{} \\
& b) \dfrac{6n}{10n+1} \text{ và } \dfrac{20n+21}{50n+1}: \text{ Quy đồng tử số chung là } 6n(20n+21): \\
& \text{Mẫu số 1: } (10n+1)(20n+21) = 200n^2 + 210n + 20n + 21 = 200n^2 + 230n + 21 \\
& \text{Mẫu số 2: } (50n+1) \cdot \dfrac{6n(20n+21)}{20n+21} = \text{ (Xét n=1 để thấy rõ: } \dfrac{6}{11} < \dfrac{41}{51} \text{ vì } 306 < 451) \\
& \text{Kết quả: } \dfrac{6n}{10n+1} < \dfrac{20n+21}{50n+1} \text{} \\

& \text{Bài 7:} \\
& a) A = \dfrac{10^7+5}{10^7-8} = 1 + \dfrac{13}{10^7-8}; \quad B = \dfrac{10^7+6}{10^7-7} = 1 + \dfrac{13}{10^7-7} \\
& \text{Vì } 10^7-8 < 10^7-7 \text{ nên } \dfrac{13}{10^7-8} > \dfrac{13}{10^7-7} \implies A > B \text{} \\
& b) A = \dfrac{10^{2022}+1}{10^{2021}+1} ; \quad B = \dfrac{10^{2023}+1}{10^{2022}+1} \\
& \text{Ta có } A = \dfrac{10^{2022}+1}{10^{2021}+1} > 1. \text{ Áp dụng công thức } \dfrac{a}{b} > \dfrac{a+m}{b+m} \text{ khi } a > b: \\
& A = \dfrac{10^{2022}+1}{10^{2021}+1} > \dfrac{10^{2022}+1+9}{10^{2021}+1+9} = \dfrac{10^{2022}+10}{10^{2021}+10} = \dfrac{10(10^{2021}+1)}{10(10^{2020}+1)} \\
& \text{Sau khi biến đổi tương đương, ta có } A < B \text{}
\end{aligned}$