`color{#FF0000}{e}color{#FF7F00}{n}color{#FFFF00}{d}color{#00FF00}{f}color{#0000FF}{i}color{#4B0082}{e}color{#8A2BE2}{ld}`

$ \text{Đặt } \dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d} = k \Rightarrow a = bk; \, c = dk $

$ \text{Vế trái (VT):} $
$ \dfrac{(a^{24} + b^{24})^{25}}{(c^{24} + d^{24})^{25}} = \dfrac{[(bk)^{24} + b^{24}]^{25}}{[(dk)^{24} + d^{24}]^{25}} = \dfrac{[b^{24}(k^{24} + 1)]^{25}}{[d^{24}(k^{24} + 1)]^{25}} = \dfrac{b^{24 \cdot 25}}{d^{24 \cdot 25}} = \left(\dfrac{b}{d}\right)^{600} $

$ \text{Vế phải (VP):} $
$ \dfrac{(a^{25} - b^{25})^{24}}{(c^{25} - d^{25})^{24}} = \dfrac{[(bk)^{25} - b^{25}]^{24}}{[(dk)^{25} - d^{25}]^{24}} = \dfrac{[b^{25}(k^{25} - 1)]^{24}}{[d^{25}(k^{25} - 1)]^{24}} = \dfrac{b^{25 \cdot 24}}{d^{25 \cdot 24}} = \left(\dfrac{b}{d}\right)^{600} $

$ \text{Từ đó suy ra } VT = VP = \left(\dfrac{b}{d}\right)^{600} \text{ (đpcm).} $

Mẹo nhỏ:

Khi đặt $k$, bạn biến các chữ $a, c$ về theo $b, d$ thì các cụm chứa $k$ sẽ tự triệt tiêu hết.

Chỗ $24 \cdot 25$ và $25 \cdot 24$ đều bằng $600$ nên hai vế chắc chắn bằng nhau.