Đáp án + Giải thích các bước giải:

Kẻ $MH$ vuông góc với $AC$ tại $H$

Trong $(ABCD)$, gọi $O = AC \cap BD$

$\triangle SAC$ cân tại $S$ có $SO$ là trung tuyến

$\Rightarrow SO \bot AC$ tại $O$

$\triangle SBD$ cân tại $S$ có $SO$ là trung tuyến

$\Rightarrow SO \bot BD$ tại $O$

Mà $AC \cap BD$ tại $O$

$\Rightarrow SO \bot (ABCD)$ tại $O$

Mà $MH // SO ($cùng vuông góc với $AC)$

$\Rightarrow MH \bot (ABCD)$ tại $H$

$\Rightarrow CH$ là hình chiếu của $CM$ lên $(ABCD)$

$\Rightarrow \alpha = (MC, (ABCD)) = \widehat{HCM}$

Do $M$ là trung điểm $SA, MH // SO$ và $H \in AO$ nên $H$ là trung điểm của $AO$

Mà $AO = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{1}{2}\sqrt{AB^2 + BC^2}= \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow AH = \dfrac{AO}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

$\Rightarrow CH = \dfrac{3a\sqrt{2}}{4}$

Do $M, H$ lần lượt là trung điểm của $SA, AO$ nên $MH$ là đường trung bình của $\triangle SAO$

$\Rightarrow MH = \dfrac{SO}{2}$

Ta có: $SA = SC = AB = BC$

$\Rightarrow SA^2 + SC^2 = AB^2 + BC^2 = AC^2$

$\Rightarrow \triangle SAC$ vuông cân tại $S$

Mà $SO$ là đường cao nên $\triangle SAO$ vuông cân tại $O$

$\Rightarrow SO = AO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow MH = \dfrac{SO}{2} = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$

$\Rightarrow \tan \widehat{HCM} =\dfrac{MH}{CH} = \dfrac{\frac{a\sqrt{2}}{4}}{\frac{3a\sqrt{2}}{4}} = \dfrac{1}{3}$

$\Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{1}{3}$