Đáp án + Giải thích các bước giải:

Hàm chi phí sản xuất $x$ sản phẩm là (x > 0):

$\textbf{C} = \textbf{C}(x) = 10000 +600x - 0,6x^2 + 0,004x^3 ($nghìn đồng$)$ 

Hàm giá bán mỗi sản phẩm theo số lượng sản phẩm sản xuất ra là:

$p = p(x) = 1800 - 6x ($nghìn đồng$)$

$\Rightarrow x < 300$ thì nhà máy sản xuất sản phẩm có thu nhập từ việc bán sản phẩm

$\Rightarrow$ Hàm lợi nhuận là:

$\textbf{P}(x) = xp(x) - \textbf{C}(x)$

$\phantom{\textbf{P}(x)} = x(1800  - 6x) - \left(10000 + 600x - 0,6x^2 + 0,004x^3\right)$

$\phantom{\textbf{P}(x)} = -0,004x^3 - 5,4x^2 + 1200x - 10000$

$\textbf{P}'(x) = -0,012x^2 - 10,8x + 1200 = -0,012\left(x^2 + 900x - 100000\right)$

$\textbf{P}'(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 + 900x - 100000 = 0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 100 (\text{tm}) \\ x = -1000 (\text{ktm}) \end{array}\right.$

Bảng biến thiên: ảnh dưới

Vậy nhà máy cần sản xuất $100$ sản phẩm mỗi tháng để thu được lợi nhuận lớn nhất là $52$ triệu đồng mỗi tháng