Đáp án: $16$

Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{Chọn hệ trục } Oxyz \text{ sao cho } O \text{ là tâm hình thoi } ABCD, \\
& tia \,\, Ox \equiv OC, \,\, Oy \equiv OD, \,\, Oz \equiv OS. \\
& \text{Do } ABCD \text{ là hình thoi cạnh } 1, \widehat{BAD} = 60^\circ \Rightarrow \Delta ABD \text{ đều cạnh } 1. \\
& \Rightarrow BD = 1 \Rightarrow OB = OD = \dfrac{1}{2}. \\
& \Rightarrow AC = 2 \cdot AO = 2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \Rightarrow OA = OC = \dfrac{\sqrt{3}}{2}. \\
& \text{Do } SO \perp (ABCD) \Rightarrow \widehat{(SC, (ABCD))} = \widehat{SCO} = 60^\circ. \\
& \Delta SOC \text{ vuông tại } O: SO = OC \cdot \tan 60^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \dfrac{3}{2}. \\
& \text{Tọa độ các điểm:} \\
& O(0; 0; 0), \quad A\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; 0; 0\right), \quad C\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}; 0; 0\right), \\
& D\left(0; \dfrac{1}{2}; 0\right), \quad S\left(0; 0; \dfrac{3}{2}\right). \\
& \text{Véc-tơ chỉ phương của mặt phẳng } (SCD): \\
& \vec{SC} = \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2} - 0; 0 - 0; 0 - \dfrac{3}{2} \right) = \left( \dfrac{\sqrt{3}}{2}; 0; -\dfrac{3}{2} \right) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}(1; 0; -\sqrt{3}). \\
& \vec{SD} = \left( 0 - 0; \dfrac{1}{2} - 0; 0 - \dfrac{3}{2} \right) = \left( 0; \dfrac{1}{2}; -\dfrac{3}{2} \right) = \dfrac{1}{2}(0; 1; -3). \\
& \text{Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng } (SCD): \\
& \vec{n} = [\vec{SC}, \vec{SD}] \sim [(1; 0; -\sqrt{3}), (0; 1; -3)] \\
& = \left( \left| \begin{matrix} 0 & -\sqrt{3} \\ 1 & -3 \end{matrix} \right|; \left| \begin{matrix} -\sqrt{3} & 1 \\ -3 & 0 \end{matrix} \right|; \left| \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} \right| \right) \\
& = (\sqrt{3}; 3; 1). \\
& \text{Phương trình mặt phẳng } (SCD) \text{ đi qua } D\left(0; \dfrac{1}{2}; 0\right): \\
& \sqrt{3}(x - 0) + 3\left(y - \dfrac{1}{2}\right) + 1(z - 0) = 0 \\
& \Leftrightarrow \sqrt{3}x + 3y + z - \dfrac{3}{2} = 0 \\
& \Leftrightarrow 2\sqrt{3}x + 6y + 2z - 3 = 0. \\
& \text{Khoảng cách từ } A\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}; 0; 0\right) \text{ đến } (SCD): \\
& d(A, (SCD)) = \dfrac{\left| 2\sqrt{3} \cdot \left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) + 6 \cdot 0 + 2 \cdot 0 - 3 \right|}{\sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 6^2 + 2^2}} \\
& = \dfrac{|-3 - 3|}{\sqrt{12 + 36 + 4}} \\
& = \dfrac{6}{\sqrt{52}} = \dfrac{6}{2\sqrt{13}} \\
& = \dfrac{3}{\sqrt{13}} = \dfrac{3\sqrt{13}}{13}. \\
& \text{Đối chiếu với dạng } \dfrac{a\sqrt{13}}{b} \Rightarrow a = 3, \,\, b = 13. \\
& \Rightarrow a + b = 3 + 13 = 16.
\end{aligned}$