Giải thích các bước giải:

Câu 17:

$\begin{aligned}
& \text{Phương trình cạnh } BC: x + y + 4 = 0. \\
& \text{Điểm } A(-1; -2). \\
& \text{Gọi } d \text{ là đường thẳng đi qua } A \text{ và song song với } BC. \\
& \text{Vì } d \parallel BC \text{ nên phương trình } d \text{ có dạng: } x + y + m = 0. \\
& A \in d \Rightarrow -1 + (-2) + m = 0 \Rightarrow m = 3. \\
& \Rightarrow \text{Phương trình đường thẳng } d: x + y + 3 = 0. \\
& \text{Đường trung bình } MN \text{ song song và cách đều } d \text{ và } BC. \\
& \text{Phương trình } MN \text{ có dạng: } x + y + k = 0 \text{ với } k = \dfrac{m + 4}{2}. \\
& k = \dfrac{3 + 4}{2} = \dfrac{7}{2}. \\
& \Rightarrow x + y + \dfrac{7}{2} = 0 \\
& \Leftrightarrow 2x + 2y + 7 = 0. \\
& \text{Vậy phương trình đường trung bình } MN \text{ là } 2x + 2y + 7 = 0.
\end{aligned}$

Câu 18:

 $\begin{aligned}
& \text{Cho hình bình hành } ABCD \text{ với } A(-1; 1), B(2; 4), C(3; -2). \\
& \text{Do } ABCD \text{ là hình bình hành nên } AB \parallel CD. \\
& \Rightarrow d(D, AB) = d(C, AB). \\
& \text{Vectơ chỉ phương của } AB: \vec{u}_{AB} = \vec{AB} = (2 - (-1); 4 - 1) = (3; 3) = 3(1; 1). \\
& \Rightarrow \text{Vectơ pháp tuyến của } AB: \vec{n}_{AB} = (1; -1). \\
& \text{Phương trình tổng quát đường thẳng } AB \text{ đi qua } A(-1; 1): \\
& 1(x + 1) - 1(y - 1) = 0 \\
& \Leftrightarrow x - y + 2 = 0. \\
& \text{Khoảng cách từ } C(3; -2) \text{ đến đường thẳng } AB: \\
& d(C, AB) = \dfrac{|3 - (-2) + 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \\
& = \dfrac{|3 + 2 + 2|}{\sqrt{2}} \\
& = \dfrac{7}{\sqrt{2}} = \dfrac{7\sqrt{2}}{2}. \\
& \text{Vậy } d(D, AB) = \dfrac{7\sqrt{2}}{2}.
\end{aligned}$

Câu 19:

$\begin{aligned}
& \text{Đường thẳng } \Delta: ax + by - 3 = 0. \\
& \Delta \text{ đi qua } M(1; 1): \\
& a(1) + b(1) - 3 = 0 \Rightarrow a + b = 3 \Rightarrow b = 3 - a \quad (1). \\
& \text{Khoảng cách từ } N(2; 3) \text{ đến } \Delta \text{ bằng } \sqrt{5}: \\
& \dfrac{|2a + 3b - 3|}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \sqrt{5} \quad (2). \\
& \text{Thay } (1) \text{ vào } (2): \\
& \dfrac{|2a + 3(3 - a) - 3|}{\sqrt{a^2 + (3 - a)^2}} = \sqrt{5} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{|2a + 9 - 3a - 3|}{\sqrt{a^2 + 9 - 6a + a^2}} = \sqrt{5} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{|6 - a|}{\sqrt{2a^2 - 6a + 9}} = \sqrt{5} \\
& \Leftrightarrow (6 - a)^2 = 5(2a^2 - 6a + 9) \\
& \Leftrightarrow 36 - 12a + a^2 = 10a^2 - 30a + 45 \\
& \Leftrightarrow 9a^2 - 18a + 9 = 0 \\
& \Leftrightarrow 9(a - 1)^2 = 0 \\
& \Leftrightarrow a = 1. \\
& \text{Với } a = 1 \Rightarrow b = 3 - 1 = 2. \\
& \text{Đề bài yêu cầu tính } P = 5a + 10b \text{ (dựa trên nét chữ trong ảnh):} \\
& P = 5(1) + 10(2) = 5 + 20 = 25.
\end{aligned}$

Câu 20:

$\begin{aligned}
& d_1: x + y + 3 = 0 \\
& d_2: x - y - 4 = 0 \\
& d_3: x - 2y = 0 \\
& M \in d_3 \Rightarrow M(2t; t). \\
& \text{Theo đề bài: } d(M, d_1) = 2d(M, d_2). \\
& \Leftrightarrow \dfrac{|2t + t + 3|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = 2 \cdot \dfrac{|2t - t - 4|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} \\
& \Leftrightarrow \dfrac{|3t + 3|}{\sqrt{2}} = 2 \cdot \dfrac{|t - 4|}{\sqrt{2}} \\
& \Leftrightarrow |3t + 3| = 2|t - 4| \\
& \Leftrightarrow |3t + 3| = |2t - 8| \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & 3t + 3 = 2t - 8 \\ & 3t + 3 = -(2t - 8) \end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t = -11 \\ & 3t + 3 = -2t + 8 \end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t = -11 \\ & 5t = 5 \end{aligned} \right. \\
& \Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & t = -11 \Rightarrow M_1(-22; -11) \\ & t = 1 \Rightarrow M_2(2; 1) \end{aligned} \right. \\
& \text{Vậy có 2 điểm thỏa mãn: } M_1(-22; -11) \text{ và } M_2(2; 1).
\end{aligned}$