Giải thích các bước giải:

$\begin{aligned}
& \text{a) Ta có: } \\

& x(x+3)+y(y+3)=z(z+3) \\
& \Leftrightarrow 4x(x+3) + 4y(y+3) = 4z(z+3) \\
& \Leftrightarrow (4x^2 + 12x + 9) + (4y^2 + 12y + 9) - 18 = 4z^2 + 12z \\
& \Leftrightarrow (2x+3)^2 + (2y+3)^2 = (4z^2 + 12z + 9) + 9 \\
& \Leftrightarrow (2x+3)^2 + (2y+3)^2 - (2z+3)^2 = 9 \\
& \text{Đặt } A = 2x+3; \ B = 2y+3; \ C = 2z+3 \quad (A, B \ge 7 \text{ vì } x,y \ge 2) \\
& \Rightarrow A^2 + B^2 - C^2 = 9 \quad (*) \\
& \bullet \ \text{Xét đồng dư module 3:} \\
& \text{Nếu } x \text{ không chia hết cho 3 } \Rightarrow x \equiv 1, 2 \pmod 3 \Rightarrow A = 2x+3 \equiv \pm 1 \pmod 3 \Rightarrow A^2 \equiv 1 \pmod 3 \\
& \text{Nếu } x, y \text{ đều khác 3 } \Rightarrow A^2 \equiv 1, B^2 \equiv 1 \pmod 3 \\
& \Rightarrow C^2 = A^2 + B^2 - 9 \equiv 1 + 1 - 0 \equiv 2 \pmod 3 \ (\text{Vô lý vì số chính phương } \equiv 0, 1 \pmod 3) \\
& \Rightarrow \text{Trong } x, y \text{ phải có một số bằng 3.} \\
& \bullet \ \text{Giả sử } x = 3 \Rightarrow A = 2(3)+3 = 9 \\
& (*) \Leftrightarrow 81 + B^2 - C^2 = 9 \\
& \Leftrightarrow C^2 - B^2 = 72 \\
& \Leftrightarrow (C-B)(C+B) = 72 \\
& \text{Vì } B, C \text{ lẻ } \Rightarrow C-B, C+B \text{ chẵn. Đặt } C-B=2u, \ C+B=2v \Rightarrow 4uv=72 \Rightarrow uv=18 \ (u<v) \\
& \text{Các cặp } (u,v) \text{ thỏa mãn:} \\
& \quad + \ \begin{cases} u=1 \\ v=18 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} C-B=2 \\ C+B=36 \end{cases} \Rightarrow 2B=34 \Rightarrow B=17 \Rightarrow 2y+3=17 \Rightarrow y=7 \text{ (thỏa mãn)} \\
& \quad \quad \Rightarrow 2C=38 \Rightarrow C=19 \Rightarrow 2z+3=19 \Rightarrow z=8 \\
& \quad + \ \begin{cases} u=2 \\ v=9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} C-B=4 \\ C+B=18 \end{cases} \Rightarrow 2B=14 \Rightarrow B=7 \Rightarrow 2y+3=7 \Rightarrow y=2 \text{ (thỏa mãn)} \\
& \quad \quad \Rightarrow 2C=22 \Rightarrow C=11 \Rightarrow 2z+3=11 \Rightarrow z=4 \\
& \quad + \ \begin{cases} u=3 \\ v=6 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} C-B=6 \\ C+B=12 \end{cases} \Rightarrow 2B=6 \Rightarrow B=3 \Rightarrow 2y+3=3 \Rightarrow y=0 \text{ (loại)} \\
& \text{Do vai trò } x, y \text{ như nhau, ta có các nghiệm } (x, y, z): \\
& (2, 3, 4); \ (3, 2, 4); \ (3, 7, 8); \ (7, 3, 8) \\
& \\
& \text{b) Chứng minh trong 39 số tự nhiên liên tiếp có số có tổng chữ số } \vdots 11 \\
& \text{Gọi } S(n) \text{ là tổng các chữ số của } n. \\
& \text{Giả sử trong 39 số liên tiếp không có số nào thỏa mãn } S(n) \vdots 11. \\
& \bullet \ \text{Trong 39 số liên tiếp, tồn tại ít nhất 3 số là bội của 10, gọi là } 10k, 10(k+1), 10(k+2). \\
& \text{Xét dãy 10 số } D_m = \{ 10m, 10m+1, \dots, 10m+9 \} \text{ với } m \in \{k, k+1, k+2\}. \\
& \text{Tổng chữ số tương ứng: } S(m), S(m)+1, \dots, S(m)+9. \\
& \text{Đây là 10 số tự nhiên liên tiếp. Để không số nào chia hết cho 11 thì số dư bị thiếu mod 11 phải là 0.} \\
& \Rightarrow S(m) - 1 \vdots 11 \Rightarrow S(m) \equiv 1 \pmod{11}. \\
& \bullet \ \text{Áp dụng cho 3 bội số của 10:} \\
& (1) \ S(k) \equiv 1 \pmod{11} \\
& (2) \ S(k+1) \equiv 1 \pmod{11} \\
& (3) \ S(k+2) \equiv 1 \pmod{11} \\
& \text{Từ (1) và (2): Nếu } k \text{ không tận cùng là 9 } \Rightarrow S(k+1) = S(k)+1 \Rightarrow 1 \equiv 2 \text{ (Vô lý)} \\
& \Rightarrow k \text{ có tận cùng là 9.} \\
& \Rightarrow k+1 \text{ có tận cùng là 0.} \\
& \text{Từ (2) và (3): Vì } k+1 \text{ tận cùng là 0 (khác 9) } \Rightarrow S(k+2) = S(k+1)+1 \\
& \Rightarrow 1 \equiv 1 + 1 \Rightarrow 0 \equiv 1 \pmod{11} \text{ (Vô lý).} \\
& \Rightarrow \text{Điều giả sử sai. Luôn tồn tại một số có tổng các chữ số chia hết cho 11.}
\end{aligned}$